Encontre os limites das funções abaixo ou, caso não exista, justifique.
lim x 8 raiz[3]x-2x-8

Passo 1

O enunciado pede
limxto8raiz[3]x-2x-8,
que é um problema de cálculo de limites envolvendo indeterminação do tipo tfrac00. Para resolver, vamos usar a fatoração da diferença de cubos e técnicas de manipulação algébrica.

Passo 2

Lembramos que, para quaisquer a e b, vale a identidade
a^3 - b^3 = (a - b)l(a^2 + ab + b^2r)
Aqui tomamos a = raiz[3]x e b=2. Então
x - 8 = (raiz[3]x)^3 - 2^3 = l(raiz[3]x-2r)l((raiz[3]x)^2 + 2raiz[3]x + 2^2r)

Passo 3

Isolando raiz[3]x-2 em função de x-8, obtemos
raiz[3]x-2x-8 = 1(raiz[3]x)^2 + 2raiz[3]x + 4 = 1x^2/3 + 2,x^1/3 + 4

Passo 4

Agora basta avaliar o limite da forma simplificada. Quando xto8 temos raiz[3]8=2, logo
x^2/3 + 2,x^1/3 + 4 ;longrightarrow; 2^2 + 2cdot2 + 4 = 4 + 4 + 4 = 12
Portanto
limxto8raiz[3]x-2x-8 = 112

Resposta

112

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