Seja f uma função tal que x^2+x <= f(x) <= x^3+1, para 0 <= x <= 2. Encontre lim x 1 f(x).

Passo 1

Então, a gente tem uma função f(x) que tá entre x^2 + x e x^3 + 1 quando x varia de 0 a 2. A questão quer saber qual é o limite de f(x) quando x se aproxima de 1. Pra resolver isso, vamos usar o Teorema do Sandwich (ou Teorema da Compressão), que basicamente diz que se a função que a gente quer encontrar o limite tá “espremida” entre duas outras funções que têm o mesmo limite, então o limite da função do meio é esse mesmo valor.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite de x^2 + x quando x se aproxima de 1. É só substituir:
limx to 1 (x^2 + x) = 1^2 + 1 = 1 + 1 = 2

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite de x^3 + 1 quando x se aproxima de 1:
limx to 1 (x^3 + 1) = 1^3 + 1 = 1 + 1 = 2

Passo 4

Como a função f(x) tá entre x^2 + x e x^3 + 1 , e ambas as funções têm limite 2 quando x se aproxima de 1, pelo Teorema do Sandwich, o limite de f(x) também é 2.

Resposta

limx to 1 f(x) = 2

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