Encontre os limites das funções abaixo ou, caso não exista, justifique.
lim x 4 x-4raiz[3]x-2-raiz[3]2

Passo 1

O enunciado pede a avaliação do limite
limxto4x-4raiz[3]x-2-raiz[3]2
Trata-se de uma forma do tipo tfrac00, e para resolver vamos usar a fatoração da diferença de cubos.

Passo 2

Defina
a = raiz[3]x-2, b = raiz[3]2
Então a^3 = x-2 e b^3=2, de modo que
a^3 - b^3 = (x-2) - 2 = x-4

Passo 3

Use a fatoração
a^3 - b^3 = (a - b),(a^2 + a b + b^2),
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x-4 = (a-b),(a^2 + a b + b^2)

Passo 4

Substituindo na fração original, temos
x-4raiz[3]x-2-raiz[3]2 = (a-b),(a^2 + a b + b^2)a-b = a^2 + a b + b^2

Passo 5

Quando xto4, a=raiz[3]x-2toraiz[3]2 e b=raiz[3]2. Assim
limxto4l(a^2 + a b + b^2r) = 3l(raiz[3]2r)^2 = 3cdot 2^2/3

Resposta

limxto4x-4raiz[3]x-2-raiz[3]2 = 3,2^2/3

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