Seja f uma função tal que
lll x^5-4 x^4+3 x^3+2 x^2-4 x <= f(x) <= x^4-4 x^3+x^2+4 x-4 & para & x<-1 x^4-4 x^3+x^2+4 x-4 <= f(x) <= x^5-4 x^4+3 x^3+2 x^2-4 x & para & x>-1
Determine os limites abaixo, caso seja possível.
lim x 0 f(x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função f(x) que está “presa” entre duas outras funções, dependendo de x . Queremos descobrir qual é o limite de f(x) quando x se aproxima de 0. Para isso, vamos usar o Teorema do Confronto (também conhecido como Teorema do Aperto ou Squeeze Theorem). Esse teorema nos ajuda a encontrar limites de funções que estão entre duas outras funções cujo limite já conhecemos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as desigualdades que definem f(x) :
Para x > -1 (que inclui x próximo de 0):
x^4 - 4x^3 + x^2 + 4x - 4 <= f(x) <= x^5 - 4x^4 + 3x^3 + 2x^2 - 4x
Isso significa que, perto de x = 0 , f(x) está sempre entre essas duas funções.

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite das funções que estão “apertando” f(x) quando x se aproxima de 0.
Para a função de baixo:
limx to 0 ( x^4 - 4x^3 + x^2 + 4x - 4 )
Substituindo x = 0 :
0 - 0 + 0 + 0 - 4 = -4
Para a função de cima:
limx to 0 ( x^5 - 4x^4 + 3x^3 + 2x^2 - 4x )
Substituindo x = 0 :
0 - 0 + 0 + 0 - 0 = 0

Passo 4

Agora, aplicando o Teorema do Confronto, a gente precisa que os limites das duas funções que estão apertando f(x) sejam iguais para garantir o limite de f(x) . No nosso caso:
limx to 0 função de baixo = -4 çã
limx to 0 função de cima = 0 çã
Como os dois limites são diferentes ( -4 neq 0), o Teorema do Confronto não garante que f(x) tenha um limite definido.

Resposta

O limite limx 0 f(x) não existe.

Exercícios relacionados