Seja
uma função tal que
Determine os limites abaixo, caso seja possível.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função
que está “presa” entre duas outras funções, dependendo de
. Queremos descobrir qual é o limite de
quando
se aproxima de 0. Para isso, vamos usar o Teorema do Confronto (também conhecido como Teorema do Aperto ou Squeeze Theorem). Esse teorema nos ajuda a encontrar limites de funções que estão entre duas outras funções cujo limite já conhecemos.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar as desigualdades que definem
:
Para
(que inclui
próximo de 0):
Isso significa que, perto de
,
está sempre entre essas duas funções.
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite das funções que estão “apertando”
quando
se aproxima de 0.
Para a função de baixo:
Substituindo
:
Para a função de cima:
Substituindo
:
Passo 4
Agora, aplicando o Teorema do Confronto, a gente precisa que os limites das duas funções que estão apertando
sejam iguais para garantir o limite de
. No nosso caso:
Como os dois limites são diferentes (
), o Teorema do Confronto não garante que
tenha um limite definido.
Resposta
O limite
não existe.