Encontre os limites:
\lim (\mathrm{x}, \mathrm{y}) \rightarrow(0,0) \mathrm{h}(\mathrm{x}, \mathrm{y}), onde \mathrm{h}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=\left(\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}\right) / \mathrm{y}

Passo 1

O enunciado pede \lim_{(x,y)\to(0,0)}h(x,y) onde
h(x,y)=\frac{x^2+y}{y}.
É um limite de função de duas variáveis; vamos verificar se ele existe comparando trajetórias diferentes.

Passo 2

Para que o limite de uma função de duas variáveis exista, é preciso que ele seja o mesmo para todas as formas de nos aproximarmos do ponto (0,0). Basta, portanto, encontrar duas trajetórias que levem a valores distintos para concluir que o limite não existe.

Passo 3

Considere a trajetória y=x. Substituindo em h,
h(x,x)=\frac{x^2+x}{x}=x+1.
Ao fazermos x\to0, obtemos
\lim_{x\to0}h(x,x)=1.

Passo 4

Agora considere a trajetória y=x^2. Substituindo em h,
h(x,x^2)=\frac{x^2+x^2}{x^2}=2.
Ao fazermos x\to0, obtemos
\lim_{x\to0}h(x,x^2)=2.

Passo 5

Como pela trajetória y=x o limite vale 1 e pela trajetória y=x^2 vale 2, os valores são diferentes. Logo, o limite geral não existe.

Resposta

O limite \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2+y}{y} não existe.

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