Encontre os limites a seguir: lim (x, y) longrightarrow(2,2) x-yx^4-y^4

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo: precisamos encontrar o limite da função x - yx^4 - y^4 quando (x, y) se aproxima de (2,2). Isso envolve trabalhar com limites em funções de duas variáveis e vai exigir que simplifiquemos a expressão para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, observamos que, ao substituir (2,2) diretamente na função, tanto o numerador quanto o denominador resultam em zero, ou seja:
2 - 22^4 - 2^4 = 00
Isso nos dá uma forma indeterminada, o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos simplificar o denominador x^4 - y^4. Essa expressão é uma diferença de potências e pode ser fatorada usando a fórmula da diferença de quadrados:
x^4 - y^4 = (x^2)^2 - (y^2)^2 = (x^2 - y^2)(x^2 + y^2)
Mas ainda podemos simplificar mais o termo x^2 - y^2 usando a mesma técnica:
x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)
Então, substituindo de volta:
x^4 - y^4 = (x - y)(x + y)(x^2 + y^2)

Passo 4

Agora, vamos substituir essa fatoração na expressão original:
x - yx^4 - y^4 = x - y(x - y)(x + y)(x^2 + y^2)
Perceba que o termo (x - y) aparece no numerador e no denominador, então podemos simplificá-los (desde que x neq y, o que é válido perto de (2,2)):
1(x + y)(x^2 + y^2)

Passo 5

Agora que simplificamos a expressão, podemos calcular o limite substituindo diretamente (x, y) por (2,2):
lim(x, y) to (2,2) 1(x + y)(x^2 + y^2) = 1(2 + 2)(2^2 + 2^2) = 14 cdot 8 = 132

Resposta

O limite é 132.

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