Encontre os limites a seguir:
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo: precisamos encontrar o limite da função
quando
se aproxima de
. Isso envolve trabalhar com limites em funções de duas variáveis e vai exigir que simplifiquemos a expressão para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, observamos que, ao substituir
diretamente na função, tanto o numerador quanto o denominador resultam em zero, ou seja:
Isso nos dá uma forma indeterminada, o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.
Passo 3
Vamos simplificar o denominador
. Essa expressão é uma diferença de potências e pode ser fatorada usando a fórmula da diferença de quadrados:
Mas ainda podemos simplificar mais o termo
usando a mesma técnica:
Então, substituindo de volta:
Passo 4
Agora, vamos substituir essa fatoração na expressão original:
Perceba que o termo
aparece no numerador e no denominador, então podemos simplificá-los (desde que
, o que é válido perto de
):
Passo 5
Agora que simplificamos a expressão, podemos calcular o limite substituindo diretamente
por
:
Resposta
O limite é
.