Nos exercícios a seguir,(a) encontre o domínio da função,(b) encontre a imagem da função,© descreva as curvas de nível da função,(d) encontre a fronteira do domínio da função,(e) determine se o domínio é uma região aberta, uma região fechada ou nenhuma das duas e (f) decida se o domínio é limitado ou não limitado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para analisar a função
em diversos aspectos. Vamos precisar entender o que é domínio, imagem, curvas de nível, fronteira, e os conceitos de região aberta, fechada, e se o domínio é limitado ou não. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
e
para os quais a função está definida. No caso de
, não há nenhuma restrição como divisão por zero ou raízes de números negativos. Portanto, o domínio é todo o plano
, ou seja, todos os pares de números reais
.
Passo 3
Agora, a imagem da função são todos os possíveis valores que
pode assumir. Como
e
podem ser quaisquer números reais, o produto
também pode ser qualquer número real. Então, a imagem é
, todos os números reais.
Passo 4
Vamos falar sobre as curvas de nível. Essas são as curvas no plano onde a função assume um valor constante. Para
, onde
é uma constante, temos que
. Isso representa uma hipérbole para
e as retas
ou
para
.
Passo 5
A fronteira do domínio é o conjunto de pontos que estão “na borda” do domínio. Como nosso domínio é todo
, não há borda, pois o plano se estende infinitamente em todas as direções. Portanto, a fronteira do domínio é vazia.
Passo 6
Agora, vamos ver se o domínio é uma região aberta ou fechada. Uma região é aberta se não inclui sua fronteira e fechada se inclui sua fronteira. Como nosso domínio é todo o plano e não tem fronteira, ele pode ser considerado tanto aberto quanto fechado. No entanto, geralmente dizemos que
é aberto e fechado (um conjunto “clopen”).
Passo 7
Por último, vamos determinar se o domínio é limitado ou não limitado. Um conjunto é limitado se está contido dentro de algum círculo de raio finito. Como o domínio é todo
, ele se estende infinitamente em todas as direções, então é não limitado.
Resposta
(a) O domínio de
é todo
.
(b) A imagem da função é
.
© As curvas de nível são hipérboles
para
e as retas
e
para
.
(d) A fronteira do domínio é vazia.
(e) O domínio é uma região aberta e fechada (clopen).
(f) O domínio é não limitado.