Nos exercícios a seguir,(a) encontre o domínio da função,(b) encontre a imagem da função,© descreva as curvas de nível da função,(d) encontre a fronteira do domínio da função,(e) determine se o domínio é uma região aberta, uma região fechada ou nenhuma das duas e (f) decida se o domínio é limitado ou não limitado. f(x, y) = x * y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para analisar a função em diversos aspectos. Vamos precisar entender o que é domínio, imagem, curvas de nível, fronteira, e os conceitos de região aberta, fechada, e se o domínio é limitado ou não. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de e para os quais a função está definida. No caso de , não há nenhuma restrição como divisão por zero ou raízes de números negativos. Portanto, o domínio é todo o plano , ou seja, todos os pares de números reais .

Passo 3

Agora, a imagem da função são todos os possíveis valores que pode assumir. Como e podem ser quaisquer números reais, o produto também pode ser qualquer número real. Então, a imagem é , todos os números reais.

Passo 4

Vamos falar sobre as curvas de nível. Essas são as curvas no plano onde a função assume um valor constante. Para , onde é uma constante, temos que . Isso representa uma hipérbole para e as retas ou para .

Passo 5

A fronteira do domínio é o conjunto de pontos que estão “na borda” do domínio. Como nosso domínio é todo , não há borda, pois o plano se estende infinitamente em todas as direções. Portanto, a fronteira do domínio é vazia.

Passo 6

Agora, vamos ver se o domínio é uma região aberta ou fechada. Uma região é aberta se não inclui sua fronteira e fechada se inclui sua fronteira. Como nosso domínio é todo o plano e não tem fronteira, ele pode ser considerado tanto aberto quanto fechado. No entanto, geralmente dizemos que é aberto e fechado (um conjunto “clopen”).

Passo 7

Por último, vamos determinar se o domínio é limitado ou não limitado. Um conjunto é limitado se está contido dentro de algum círculo de raio finito. Como o domínio é todo , ele se estende infinitamente em todas as direções, então é não limitado.

Resposta

(a) O domínio de é todo .
(b) A imagem da função é .
© As curvas de nível são hipérboles para e as retas e para .
(d) A fronteira do domínio é vazia.
(e) O domínio é uma região aberta e fechada (clopen).
(f) O domínio é não limitado.

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