Encontre ao longo volume dos sólidos obtidos pela rotação das regiões ao longo do eixo-y:
x=raizcos (pi y4), y=-2, y=0, x=0.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar, em torno do eixo- y, a região limitada por
;x=raizcosl(tfracpi y4r),;y=-2,;y=0,;x=0.
Isso é um problema de volume por revolução e podemos usar o método dos discos (ou chapéus-de-cana), pois cada fatia horizontal gera um disco.

Passo 2

Para uma dada altura y, a região vai de x=0 até
x=raizcos!l(tfracpi y4r),
e ao girar em torno de y isso forma um disco de raio
R(y)=raizcos!l(tfracpi y4r),
e área
A(y)=pil[R(y)r]^2 =picos!l(tfracpi y4r)

Passo 3

O volume é a integral da área dos discos de y=-2 até y=0:
V=integraly=-2^0A(y),dy =integral-2^0picos!l(tfracpi y4r),dy

Passo 4

Para calcular
integral-2^0cos!l(tfracpi y4r),dy,
fazemos a substituição u=tfracpi y4, então du=tfracpi4dy e dy=tfrac4pidu.
Quando y=-2, u=-tfracpi2; e quando y=0, u=0.
integral-2^0cos!l(tfracpi y4r),dy =integralu=-tfracpi2^0cos(u),4pi,du =4pil[sin(u)r]-tfracpi2^0 =4pil(0-(-1)r) =4pi
Multiplicando por pi, vem
V=picdot4pi=4

Resposta

O volume do sólido é 4.

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