Encontre los intervalos f\left(I_{1}\right), f\left(I_{2}\right), f\left(I_{3}\right), f\left(I_{4}\right), g\left(I_{1}\right), g\left(I_{2}\right), g\left(I_{3}\right), g\left(I_{4}\right), h\left(I_{1}\right), h\left(I_{2}\right), h\left(I_{3}\right), h\left(I_{4}\right) para f(x)=\cos x, g(x)=x^{2}, h(x)=\frac{1}{x} e I_{1}=[0,10], I_{2}=\left(1, \frac{\pi}{2}\right), I_{3}=[-5,5], I_{4}=(2,3).

Passo 1

O enunciado pede as imagens dos intervalos
I_{1}=[0,10],\quad I_{2}=\bigl(1,\tfrac{\pi}{2}\bigr),\quad I_{3}=[-5,5],\quad I_{4}=(2,3)
pelas funções
f(x)=\cos x,\quad g(x)=x^{2},\quad h(x)=\frac1x.
O conteúdo envolve análise de extremos, monotonicidade e domínio dessas funções para determinar cada intervalo imagem.

Passo 2

Para f(x)=\cos x precisamos lembrar que em [0,2\pi] a função atinge máximo 1 e mínimo -1, e é periódica de período 2\pi.

Passo 3

Calcular f(I_{1}) e f(I_{3}):
  • Em I_{1}=[0,10] temos 10=2\pi+3,7168\ldots. Nesse trecho completamos pelo menos uma oscilação completa de \cos x, portanto o valor de \cos x varia entre -1 e 1. Logo
f(I_{1})=[-1,1].
  • Em I_{3}=[-5,5] a função é par e, como \pi\approx3,14<5, também atinge seu mínimo -1 e máximo 1. Assim
f(I_{3})=[-1,1].

Passo 4

Calcular f(I_{2}) e f(I_{4}):
  • I_{2}=(1,\tfrac{\pi}{2})\subset(0,\pi), onde \cos x é estritamente decrescente de \cos1 até 0. Como ambas as extremidades são abertas,
f(I_{2})=\bigl(0,\cos1\bigr).
  • I_{4}=(2,3)\subset(0,\pi), em que \cos decresce de \cos2 até \cos3. Portanto
f(I_{4})=\bigl(\cos3,\cos2\bigr).

Passo 5

Para g(x)=x^{2} usamos que é par e monotônica em [0,\infty).

Passo 6

Calcular g(I_{1}), g(I_{3}), g(I_{2}) e g(I_{4}):
  • Em I_{1}=[0,10] cresce de 0^{2} até 10^{2}, então
g(I_{1})=[0,100].
  • Em I_{3}=[-5,5] o mínimo é 0 (em 0) e o máximo é 25 (em \pm5), logo
g(I_{3})=[0,25].
  • Em I_{2}=(1,\tfrac{\pi}{2})\subset(0,\infty) cresce de 1^{2} até (\tfrac{\pi}{2})^{2}=\tfrac{\pi^{2}}{4}, com extremidades abertas, então
g(I_{2})=\bigl(1,\tfrac{\pi^{2}}{4}\bigr).
  • Em I_{4}=(2,3) cresce de 2^{2} até 3^{2}, ambas abertas, portanto
g(I_{4})=(4,9).

Passo 7

Para h(x)=1/x notamos que o domínio exclui 0 e que 1/x é estritamente decrescente em cada um dos intervalos (-\infty,0) e (0,\infty).

Passo 8

Calcular h(I_{1}) e h(I_{3}):
  • Em I_{1}=[0,10] só consideramos (0,10] porque x=0 não pertence ao domínio; à medida que x\to0^{+} temos 1/x\to+\infty e em x=10 vale 1/10. Logo
h(I_{1})=\bigl(\tfrac{1}{10},+\infty\bigr).
  • Em I_{3}=[-5,5] excluímos 0 e dividimos em [-5,0) e (0,5]. Em [-5,0), 1/x varia de -\tfrac15 até -\infty; em (0,5] varia de +\infty até \tfrac15. Assim
h(I_{3})=(-\infty,-\tfrac15]\;\cup\;[\tfrac15,+\infty).

Passo 9

Calcular h(I_{2}) e h(I_{4}):
  • Em I_{2}=(1,\tfrac{\pi}{2})\subset(0,\infty) decresce de 1/1=1 até 1/(\tfrac{\pi}{2})=2/\pi, com extremidades abertas, então
h(I_{2})=\bigl(\tfrac{2}{\pi},1\bigr).
  • Em I_{4}=(2,3)\subset(0,\infty) decresce de 1/2 até 1/3, ambas abertas, portanto
h(I_{4})=\bigl(\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{2}\bigr).

Resposta

f( I_{1})=[-1,1]
f( I_{2})=(0,cos 1)
f( I_{3})=[-1,1]
f( I_{4})=(cos 3,cos 2)
g( I_{1})=[0,100]
g( I_{2})=(1, \pi^{2}/4)
g( I_{3})=[0,25]
g( I_{4})=(4,9)
h( I_{1})=(1/10, +\infty)
h( I_{2})=(2/π,1)
h( I_{3})=(-∞,-1/5]∪[1/5, +\infty)
h( I_{4})=(1/3,1/2)

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