Sejam p \geq 0 real, f:[0,2 p] \rightarrow \mathbb{R} continua com f(0)=f(2 p), existe um c \in[0, p] tal que f\text{(c)}=f(c+p).

Passo 1

O enunciado diz que temos um real p\ge0 e uma função contínua f\colon[0,2p]\to\mathbb{R} satisfazendo f(0)=f(2p). Queremos mostrar que existe c\in[0,p] tal que
f\text{(c)}=f(c+p).
O conteúdo chave aqui é usar o Teorema do Valor Intermediário em uma função apropriada.

Passo 2

Defina a função
g(x)=f(x)-f(x+p)
para x\in[0,p]. Como f é contínua em [0,2p], segue que g é contínua em [0,p].

Passo 3

Calculemos os valores de g nas extremidades do intervalo:
g(0)=f(0)-f(p),
g(p)=f(p)-f(2p)=f(p)-f(0)=-\bigl(f(0)-f(p)\bigr)=-g(0).

Passo 4

Se g(0)=0, então f(0)=f(p) e basta tomar c=0. Caso contrário, g(0) e g(p)=-g(0) têm sinais opostos. Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe c\in(0,p) tal que
g\text{(c)}=0.
Daí f\text{(c)}-f(c+p)=0, ou seja, f\text{(c)}=f(c+p).

Resposta

Existe de fato c\in[0,p] tal que f\text{(c)}=f(c+p).

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