Toda função continua periódica f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} é limitada e atinge valores máximo e mínimo.

Passo 1

O enunciado afirma que toda função contínua periódica f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R} é limitada e atinge valores máximo e mínimo. O conteúdo aqui é teoria de funções contínuas em conjuntos compactos e periodicidade. Vamos usar o fato de que um intervalo fechado e limitado é compacto (Teorema de Weierstrass) e explorar a periodicidade para concluir a afirmação no domínio inteiro.

Passo 2

Como f é periódica, existe T>0 tal que
f(x+T)=f(x) \quad\forall x\in\mathbb{R}.
Isso significa que todos os valores de f em \mathbb{R} já aparecem em qualquer intervalo de comprimento T, por exemplo em [0,T].

Passo 3

A função f é contínua em [0,T], que é um intervalo fechado e limitado. Pelo Teorema de Weierstrass, f é limitada em [0,T] e atinge um valor máximo M e um valor mínimo m em pontos x_M,x_m\in[0,T]:
m = f(x_m) \quad\text{e}\quad M = f(x_M).

Passo 4

Para qualquer x\in\mathbb{R} existe k\in\mathbb{Z} e y\in[0,T] tais que x = y + kT. Então
f(x) = f(y + kT) = f(y),
logo f(x) também está entre m e M. Assim f é limitada em \mathbb{R} e os valores m e M são, de fato, mínimo e máximo globais.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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