Toda função continua periódica
é limitada e atinge valores máximo e mínimo.
Passo 1
O enunciado afirma que toda função contínua periódica
é limitada e atinge valores máximo e mínimo. O conteúdo aqui é teoria de funções contínuas em conjuntos compactos e periodicidade. Vamos usar o fato de que um intervalo fechado e limitado é compacto (Teorema de Weierstrass) e explorar a periodicidade para concluir a afirmação no domínio inteiro.
Passo 2
Como
é periódica, existe
tal que
Isso significa que todos os valores de
em
já aparecem em qualquer intervalo de comprimento
, por exemplo em
.
Passo 3
A função
é contínua em
, que é um intervalo fechado e limitado. Pelo Teorema de Weierstrass,
é limitada em
e atinge um valor máximo
e um valor mínimo
em pontos
:
Passo 4
Para qualquer
existe
e
tais que
. Então
logo
também está entre
e
. Assim
é limitada em
e os valores
e
são, de fato, mínimo e máximo globais.
Resposta
A afirmação é verdadeira.