Prove toda função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} constante é continua.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que toda função constante \,f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}
é contínua em cada ponto de \mathbb{R}.
Para isso, vamos usar a definição de continuidade no ponto x_{0}: f é contínua em x_{0} se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que
Seja f constante, isto é, existe c\in\mathbb{R} tal que
f(x) = c \quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
Fixe um ponto arbitrário x_{0}\in\mathbb{R}. Então
f(x_{0}) = c \quad\text{e}\quad f(x) = c \quad\text{para todo }x.
Logo, para qualquer x,
\bigl|f(x) - f(x_{0})\bigr| = |c - c| = 0.
Passo 3
Dado um \varepsilon>0, observe que
\bigl|f(x) - f(x_{0})\bigr| = 0 < \varepsilon
independente de x.
Isso significa que podemos escolher qualquer \delta>0 (por exemplo, \delta=1 ou \delta=\varepsilon);
sempre que |x-x_{0}|<\delta, teremos \bigl|f(x)-f(x_{0})\bigr|<\varepsilon.
Portanto, f satisfaz a condição de continuidade em x_{0}.
Resposta
A função constante f(x)=c é contínua em todo x_{0}\in\mathbb{R}, logo é contínua em \mathbb{R}.