Encontre o maior intervalo no qual o PVI lsin (x) y^prime+2 y=sin (x)x^2-1 y(-2)=5 tem uma única solução.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o maior intervalo em que o PVI
sin(x),y' + 2y = sin(x)x^2-1, y(-2)=5
admite existência e unicidade de solução. Trata-se de uma equação diferencial linear de primeira ordem, e usaremos o teorema de existência e unicidade que requer continuidade dos coeficientes na forma padrão.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão
y' + 2sin(x),y = 1x^2-1
Aqui o coeficiente de y é p(x)=2/sin(x) e o termo independente é q(x)=1/(x^2-1). Segundo o teorema, há solução única em qualquer intervalo onde p e q sejam contínuos.

Passo 3

Analisamos onde p ou q se descontinuam:
p(x) falha quando sin(x)=0, isto é x=kpi, kinZ.
q(x) falha quando x^2-1=0, ou seja x=pm1.
O ponto inicial é x0=-2. Os singulares mais próximos de -2 são x=-piapprox-3,14 e x=-1. Logo, o maior intervalo aberto contendo -2 sem essas descontinuidades é
l(-pi,,-1r)

Resposta

O maior intervalo em que o PVI tem solução única é l(-pi,-1r).

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