Para os problemas de valor inicial abaixo, pede-se:
(I)
(II)
(a) Encontre a solução geral da equação homogênea associada.
(b) Utilizando o método da variação dos parâmetros, encontre uma solução particular da equação não homogênea.
(c) Resolva o PVI.
Passo 1
Temos dois problemas de valor inicial (PVI) de segunda ordem linear não homogênea:
(I)
(II)
Para cada PVI faremos:
(a) achar a solução geral da homogênea associada;
(b) usar variação de parâmetros para uma particular;
(c) aplicar as condições iniciais.
Passo 2
Equação homogênea de (I):
A equação característica é , com raízes . Logo a solução geral homogênea é
Passo 3
Variação de parâmetros em (I):
escolhemos
A fórmula dá
Calculando as integrais por partes e simplificando, obtém-se
Passo 4
Solução geral de (I):
Impondo e chega-se a
Passo 5
Equação homogênea de (II):
tem equação característica , raízes , logo
Passo 6
Variação de parâmetros em (II):
Simplificando e integrando:
Fica
yp(t)=-1+sin3t;lnl|sec3t+tan3tr|
Passo 7
Solução geral de (II):
y(t)=Acos3t+Bsin3t ;-;1 +sin3t;lnl|sec3t+tan3tr|
Com y(0)=0 e y'(0)=0 obtém-se
A=1, B=0
Resposta
(I)
y(t)=l(-tfrac158+tfrac9pi^216r)cos t +l(tfrac3pi4-1r)sin t + t ;-;tfract^2cos t4 +tfractsin^3 t2 -tfraccos^3 t4 +tfrac3cos t8