Para os problemas de valor inicial abaixo, pede-se:
(I) ly^prime prime+y=t(1+sin t) y(3 pi2)=1 ; y^prime(3 pi2)=-1
(II) ly^prime prime+9 y=9 sec ^2(3 t) y(0)=0 ; y^prime(0)=0,-pi6<t<pi6
(a) Encontre a solução geral da equação homogênea associada.
(b) Utilizando o método da variação dos parâmetros, encontre uma solução particular da equação não homogênea.
(c) Resolva o PVI.

Passo 1

Temos dois problemas de valor inicial (PVI) de segunda ordem linear não homogênea:
(I)
y''+y=tl(1+sin tr), yl(tfrac3pi2r)=1,;y'l(tfrac3pi2r)=-1
(II)
y''+9y=9sec^2(3t), y(0)=0,;y'(0)=0, -tfracpi6<t<tfracpi6
Para cada PVI faremos:
(a) achar a solução geral da homogênea associada;
(b) usar variação de parâmetros para uma particular;
(c) aplicar as condições iniciais.

Passo 2

Equação homogênea de (I):
y''+y=0
A equação característica é r^2+1=0, com raízes r=pm i. Logo a solução geral homogênea é
yh(t)=C1cos t + C2sin t

Passo 3

Variação de parâmetros em (I):
escolhemos
y1=cos t, y2=sin t, W=y1y2' - y1'y2 =1
A fórmula dá
yp=-cos tintegral sin tcdotl[t(1+sin t)r],dt +sin tintegral cos tcdotl[t(1+sin t)r],dt
Calculando as integrais por partes e simplificando, obtém-se
yp(t) = t ;-;t^2cos t4;+;tsin^3 t2 ;-;cos^3 t4;+;3cos t8

Passo 4

Solução geral de (I):
y(t)=C1cos t + C2sin t + t ;-;t^2cos t4;+;tsin^3 t2 -cos^3 t4+3cos t8
Impondo y(tfrac3pi2)=1 e y'(tfrac3pi2)=-1 chega-se a
C1 = -158 + 9pi^216, C2 = 3pi4-1

Passo 5

Equação homogênea de (II):
y''+9y=0
tem equação característica r^2+9=0, raízes r=pm3i, logo
yh(t)=Acos(3t)+Bsin(3t)

Passo 6

Variação de parâmetros em (II):
y1=cos3t,;y2=sin3t,;W=3, ;g(t)=9sec^2(3t)
yp = -cos3tintegral sin3tcdot9sec^2(3t)3,dt +sin3tintegral cos3tcdot9sec^2(3t)3,dt
Simplificando e integrando:
integral sin3t,sec^2(3t),dt =tfrac13sec(3t), integral cos3t,sec^2(3t),dt =tfrac13lnl|sec3t+tan3tr|
Fica
yp(t)=-1+sin3t;lnl|sec3t+tan3tr|

Passo 7

Solução geral de (II):
y(t)=Acos3t+Bsin3t ;-;1 +sin3t;lnl|sec3t+tan3tr|
Com y(0)=0 e y'(0)=0 obtém-se
A=1, B=0

Resposta

(I)
y(t)=l(-tfrac158+tfrac9pi^216r)cos t +l(tfrac3pi4-1r)sin t + t ;-;tfract^2cos t4 +tfractsin^3 t2 -tfraccos^3 t4 +tfrac3cos t8
(II)
y(t)=cos(3t);-;1 +sin(3t);lnl|sec(3t)+tan(3t)r|

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