Encontre maneiras de evitar a perda de algarismos significativos nos cálculos a seguir:
sinh (x)-tanh (x)

Passo 1

Enunciado e conteúdo: queremos calcular sinh(x)-tanh(x) sem perder precisão por cancelamento. O assunto aqui é estabilidade numérica e expansão em série para evitar subtração de termos quase iguais.
Por que dá cancelamento? Para x pequeno temos sinh(x)approx x e tanh(x)approx x, então a diferença é da ordem x^3, muito menor que cada termo. Subtrair valores quase iguais leva à perda de algarismos significativos.

Passo 2

Forma fatorada estável: podemos escrever
sinh(x)-tanh(x) =sinh(x)-sinh(x)cosh(x) =sinh(x)l(1-1cosh(x)r)

Passo 3

Outra forma em termos de exponenciais que evita cancelamento:
sinh(x)-tanh(x) =(e^x-e^-x)(e^x+e^-x-2)2,(e^x+e^-x)

Passo 4

Solução para x pequeno: usar expansão em série. Fazendo Taylor em torno de 0 temos
sinh(x)-tanh(x)=x^32-x^58+O(x^7)

Passo 5

Estratégia prática: para |x|>varepsilon (ex: 10^-2) usar a forma fatorada ou exponencial; para |x|<=varepsilon usar a série de Taylor.

Resposta

As fórmulas estáveis para evitar cancelamento são:
  1. sinh(x)-tanh(x)=sinh(x)l(1-1/cosh(x)r).
  2. sinh(x)-tanh(x)=dfrac(e^x-e^-x)(e^x+e^-x-2)2(e^x+e^-x).
  3. Para x pequeno usar a expansão: sinh(x)-tanh(x)=dfracx^32-dfracx^58+O(x^7).

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