Considere a seguinte função:
(a) Determine o valor de
de modo que a função seja contínua em todo o domínio real.
(b) Calcule a derivada da função
, empregando a definição de derivada, para todo o domínio real. Considere o valor de
calculado no item (a). A função
resultante é contínua?
(b) Calcule a derivada da função
Passo 1
Temos a função
O enunciado pede (a) achar o valor de c para tornar f contínua em todo
e (b) calcular f’(x) em todo o domínio usando a definição de derivada. Vamos usar conceitos de continuidade de função e de limite do quociente incremental.
Passo 2
Para garantir continuidade em
, igualamos o valor da parte de baixo e de cima no ponto
. Da parte de baixo temos
Da parte de cima,
Igualando
Passo 3
Para calcular f’(x) para
, usamos a definição
com
. Fazendo as contas (expansão e cancelamentos), obtemos
válido para
.
Passo 4
Para calcular f’(x) para
, agora com
temos
. Aplicando definição de derivada e simplificando, achamos
para
.
Passo 5
Para verificar a existência de f’(2), calculamos as derivadas laterais em
. De um lado
e do outro
Como
, f’(2) não existe. Logo f’(x) é descontínua em
.
Resposta
O valor que garante continuidade é
A derivada de f é
e não existe em
. Portanto f’ não é contínua em x=2.