Considere a seguinte função:
f(x)=c 5 x^2+x-10, se x <= 2 x^3+2 x^2+c x, se x>2
(a) Determine o valor de c de modo que a função seja contínua em todo o domínio real.
(b) Calcule a derivada da função f(x), empregando a definição de derivada, para todo o domínio real. Considere o valor de c calculado no item (a). A função f^prime(x) resultante é contínua?

Passo 1

Temos a função
f(x)= 5x^2+x-10,&x<=2, x^3+2x^2+cx,&x>2
O enunciado pede (a) achar o valor de c para tornar f contínua em todo R e (b) calcular f’(x) em todo o domínio usando a definição de derivada. Vamos usar conceitos de continuidade de função e de limite do quociente incremental.

Passo 2

Para garantir continuidade em x=2, igualamos o valor da parte de baixo e de cima no ponto x=2. Da parte de baixo temos
f(2^-)=5cdot2^2+2-10=20+2-10=12
Da parte de cima,
f(2^+)=2^3+2cdot2^2+2c=8+8+2c=16+2c
Igualando
16+2c=12implies2c=-4implies c=-2

Passo 3

Para calcular f’(x) para x<2, usamos a definição
f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h
com f(x)=5x^2+x-10. Fazendo as contas (expansão e cancelamentos), obtemos
f'(x)=10x+1,
válido para x<2.

Passo 4

Para calcular f’(x) para x>2, agora com c=-2 temos f(x)=x^3+2x^2-2x. Aplicando definição de derivada e simplificando, achamos
f'(x)=3x^2+4x-2,
para x>2.

Passo 5

Para verificar a existência de f’(2), calculamos as derivadas laterais em x=2. De um lado
f'-(2)=limhto0^-f(2+h)-f(2)h=21
e do outro
f'+(2)=limhto0^+f(2+h)-f(2)h=18
Como 21neq18, f’(2) não existe. Logo f’(x) é descontínua em x=2.

Resposta

O valor que garante continuidade é
c=-2
A derivada de f é
f'(x)= 10x+1,&x<2, 3x^2+4x-2,&x>2,
e não existe em x=2. Portanto f’ não é contínua em x=2.

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