Encontre maneiras de evitar a perda de algarismos significativos nos cálculos a seguir:
Passo 1
O enunciado pede para calcular
de forma a evitar perda de algarismos significativos, ou seja, a catastrofe de cancelamento quando é pequeno. Vamos usar álgebra e expansões de série para obter fórmulas numericamente mais estáveis.
de forma a evitar perda de algarismos significativos, ou seja, a catastrofe de cancelamento quando
Passo 2
Quando
é pequeno,
fica muito próximo de 1, e a subtração direta entre quantidades quase iguais faz perder dígitos significativos. Para ver isso, note que:
Subtrair 1 retira o termo dominante 1 e deixa apenas os termos pequenos, ampliando o erro de arredondamento.
Passo 3
Para evitar esse cancelamento, racionalizamos a expressão multiplicando por
no numerador e no denominador:
Assim não subtraímos números próximos, e para
pequeno a divisão por
mantém boa precisão.
Passo 4
Outra alternativa é usar diretamente a expansão em série para
pequeno (método de Taylor):
Nesse caso, calcula-se só os poucos primeiros termos da série, evitando totalmente a subtração de 1 e garantindo exatidão conforme o número de termos.
Passo 5
Para casos onde
não é tão pequeno, a forma
é suficiente e mais estável que a diferença direta.
é suficiente e mais estável que a diferença direta.
Resposta
Fórmulas alternativas sem cancelamento:
- Racionalização:
- Expansão em série (para
pequeno):