Encontre maneiras de evitar a perda de algarismos significativos nos cálculos a seguir:
raizx^2+1-1

Passo 1

O enunciado pede para calcular
x
de forma a evitar perda de algarismos significativos, ou seja, a catastrofe de cancelamento quando é pequeno. Vamos usar álgebra e expansões de série para obter fórmulas numericamente mais estáveis.

Passo 2

Quando x é pequeno, raizx^2+1 fica muito próximo de 1, e a subtração direta entre quantidades quase iguais faz perder dígitos significativos. Para ver isso, note que:
raizx^2+1 = 1 + x^22 - x^48 + O(x^6)
Subtrair 1 retira o termo dominante 1 e deixa apenas os termos pequenos, ampliando o erro de arredondamento.

Passo 3

Para evitar esse cancelamento, racionalizamos a expressão multiplicando por raizx^2+1+1 no numerador e no denominador:
raizx^2+1-1 = (raizx^2+1-1)(raizx^2+1+1)raizx^2+1+1 = x^2raizx^2+1+1
Assim não subtraímos números próximos, e para x pequeno a divisão por raizx^2+1+1approx 2 mantém boa precisão.

Passo 4

Outra alternativa é usar diretamente a expansão em série para x pequeno (método de Taylor):
raiz1+ x^2-1 = x^22 - x^48 + x^616 - cdots
Nesse caso, calcula-se só os poucos primeiros termos da série, evitando totalmente a subtração de 1 e garantindo exatidão conforme o número de termos.

Passo 5

Para casos onde x não é tão pequeno, a forma

é suficiente e mais estável que a diferença direta.

Resposta

Fórmulas alternativas sem cancelamento:
  1. Racionalização:
raizx^2+1-1 = x^2raizx^2+1+1
  1. Expansão em série (para x pequeno):
raiz1 + x^2-1 = x^22 - x^48 + x^616 - cdots

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