Encontre a massa e a coordenada
do centro de massa do sólido
limitado pelos gráficos das equações
e
sendo a densidade
, onde
é uma constante.
Passo 1
Resumo do enunciado: Temos o sólido W limitado por z=4−x, z=0, x=0, y=0 e y=4, com densidade δ(x,y,z)=k·x. Queremos achar a massa m do sólido e a coordenada “+z̄” do centro de massa. Vamos usar integração tripla projetando W no plano xy e aplicar a definição de massa e momento em z.
Passo 2
Para calcular a massa m, escrevemos m como a integral tripla de δ sobre W. O projeto no plano xy é 0≤x≤4 (pois z=4−x≥0) e 0≤y≤4. Assim,
Passo 3
Integramos primeiro em z:
Passo 4
Substituindo e integrando em x e y:
Passo 5
Para encontrar \bar{z}, computamos o momento em z:
Passo 6
Integramos em z:
Passo 7
Então
Passo 8
Calculando a integral em x:
Passo 9
Logo
Passo 10
A coordenada \bar{z} é dada por \bar{z}=I_z/m, portanto:
Resposta
m = \tfrac{128k}{3}, \quad \bar{z} = 1