Encontre a massa e a coordenada barz do centro de massa do sólido W limitado pelos gráficos das equações z=4-x, z=0, y=0, x=0 e y=4 sendo a densidade de, onde k>0 é uma constante.

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos o sólido W limitado por z=4−x, z=0, x=0, y=0 e y=4, com densidade δ(x,y,z)=k·x. Queremos achar a massa m do sólido e a coordenada “+z̄” do centro de massa. Vamos usar integração tripla projetando W no plano xy e aplicar a definição de massa e momento em z.

Passo 2

Para calcular a massa m, escrevemos m como a integral tripla de δ sobre W. O projeto no plano xy é 0≤x≤4 (pois z=4−x≥0) e 0≤y≤4. Assim,
m=integral triplaW kx,dV =integraly=0^4integralx=0^4integralz=0^4-x kx,dz,dx,dy

Passo 3

Integramos primeiro em z:
integralz=0^4-x x,dz = xl[zr]0^4-x = x(4-x)

Passo 4

Substituindo e integrando em x e y:
m = kintegraly=0^4 l(integral0^4 x(4-x),dxr) dy = kintegral0^4 l(32/3r) dy = kcdot 323 cdot 4 = 128k3

Passo 5

Para encontrar \bar{z}, computamos o momento em z:
Iz = integral triplaW z,δ,dV = integraly=0^4integralx=0^4integralz=0^4-x kz x,dz,dx,dy

Passo 6

Integramos em z:
integral0^4-x xz,dz = xcdot (4-x)^22

Passo 7

Então
Iz = kintegral0^4 integral0^4 x(4-x)^22 dx,dy = kcdot 4 cdot 12 integral0^4 x(4-x)^2 dx = 2k integral0^4 (16x - 8x^2 + x^3) dx

Passo 8

Calculando a integral em x:
integral0^4 (16x -8x^2 + x^3) dx = l[8x^2 - tfrac83x^3 + tfracx^44r]0^4 = 643

Passo 9

Logo
Iz = 2k cdot 643 = 128k3

Passo 10

A coordenada \bar{z} é dada por \bar{z}=I_z/m, portanto:
barz = tfrac128k3tfrac128k3 = 1

Resposta

m = \tfrac{128k}{3}, \quad \bar{z} = 1

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