Encontre a massa total, o centro de massa e o momento de inércia das figuras.
Uma esfera de raio
e densidade
, em rotação sobre um diâmetro.
Uma esfera de raio
Passo 1
O enunciado pede para determinar a massa total, o centro de massa e o momento de inércia, em rotação sobre um diâmetro, de uma esfera de raio
cuja densidade é dada por
. Vamos usar coordenadas esféricas para facilitar as integrais sobre o volume.
Passo 2
Para achar a massa total
, passamos para coordenadas esféricas
, onde
e
. Assim,
Calculando a parte radial:
Logo,
Passo 3
Como a densidade depende apenas de
(é radialmente simétrica), o centro de massa fica no centro geométrico da esfera, ou seja, em
.
Passo 4
Para o momento de inércia em torno de um diâmetro (por exemplo, eixo
), usamos
e, em esféricas,
. Então,
A parte angular é
A parte radial é
Logo,
Substituindo
em função de
(onde
) obtemos
Resposta
Massa total:
. Centro de massa:
. Momento de inércia sobre diâmetro:
.