Encontre a massa total, o centro de massa e o momento de inércia das figuras.
Uma esfera de raio a e densidade de, em rotação sobre um diâmetro.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a massa total, o centro de massa e o momento de inércia, em rotação sobre um diâmetro, de uma esfera de raio a cuja densidade é dada por de. Vamos usar coordenadas esféricas para facilitar as integrais sobre o volume.

Passo 2

Para achar a massa total M=integralV de, passamos para coordenadas esféricas (r,theta,phi), onde dV=r^2sintheta,dr,dtheta,dphi e r^2=x^2+y^2+z^2. Assim,
M=de
Calculando a parte radial:
integral0^a(a^2r^2 - r^4),r^2,dr=integral0^a(a^2r^4 - r^6),dr=a^2a^55-a^77=2a^735
Logo,
M=de

Passo 3

Como a densidade depende apenas de r (é radialmente simétrica), o centro de massa fica no centro geométrico da esfera, ou seja, em (0,0,0).

Passo 4

Para o momento de inércia em torno de um diâmetro (por exemplo, eixo z), usamos
I=integralV(x^2+y^2),de
e, em esféricas, x^2+y^2=r^2sin^2theta. Então,
I=de
A parte angular é
integral0^2pidphiintegral0^pisin^3theta,dtheta=2picdot43=8pi3
A parte radial é
integral0^a(a^2r^4 - r^6),dr=2a^735
Logo,
I=de
Substituindo de em função de M (onde M=8pide) obtemos
I=27Ma^2

Resposta

Massa total: M=8pide. Centro de massa: (0,0,0). Momento de inércia sobre diâmetro: I=16pide.

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