Questão 1: Considere a matriz A=(ccccx-1 & 2 & x-1 & 1 0 & x-2 & 0 & 1 1 & 1 & 0 & 1 1 & 1 & 0 & x-1). Determine os valores de x in R, se houver, para os quais A é inversível.

Passo 1

Temos a matriz
A=x-1 & 2 & x-1 & 10 & x-2 & 0 & 11 & 1 & 0 & 11 & 1 & 0 & x-1
O objetivo é encontrar os valores de x para os quais A é invertível, ou seja, quando det(A)neq0. Vamos usar operações de linha e expansão de determinante.

Passo 2

Primeiro aplicamos a operação de linha
L4 L4 - L3
Somar múltiplos de uma linha a outra não altera o determinante, então obtemos a matriz equivalente
x-1 & 2 & x-1 & 10 & x-2 & 0 & 11 & 1 & 0 & 10 & 0 & 0 & x-2 .

Passo 3

Note que a nova 4ª linha é [0;0;0;x-2], com apenas um elemento não nulo em 4ª coluna. Assim, ao expandir det(A) por essa linha, temos
det(A)=(x-2),C4,4=(x-2)det(M)
onde M é a submatriz 3×3 das três primeiras linhas e colunas.

Passo 4

A submatriz M é
M=x-1 & 2 & x-10 & x-2 & 01 & 1 & 0
Calculando seu determinante por expansão em cofatores, achamos
det(M)=-(x-1)(x-2)

Passo 5

Portanto
det(A)=(x-2)l[-(x-1)(x-2)r]=-(x-2)^2(x-1)
Para A ser invertível precisamos de det(A)neq0, isto é, (x-2)^2neq0 e x-1neq0. Logo, xneq2 e xneq1.

Resposta

A é invertível para todos os reais exceto x=1 e x=2, ou seja, xinRsetminus1,2.

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