1. Encontre \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{3 s-12}{s^{2}+4 s}\right\}.
    A) 3+4 e^{-4 t}
    B) -3+3 e^{4 t}
    C) -3+6 e^{-4 t}
    D) 3-4 e^{4 t}
    E) -3+3 e^{-4 t}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace
\mathcal{L}^{-1}\biggl\{\frac{3s-12}{s^{2}+4s}\biggr\}.
O conteúdo aqui é encontrar frações parciais e usar que
\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s}\}=1 e \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s+a}\}=e^{-a t}.

Passo 2

Observamos que o denominador fatora como
s^{2}+4s = s(s+4).

Passo 3

Fazemos a decomposição em parcelas parciais:
\frac{3s-12}{s(s+4)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s+4}.

Passo 4

Multiplicando por s(s+4) obtém-se
A(s+4) + B\,s = 3s - 12.
Comparando coeficientes:
A + B = 3, \quad 4A = -12
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A = -3, \quad B = 3 - A = 6.

Passo 5

Assim
\frac{3s-12}{s(s+4)} = -\frac{3}{s} + \frac{6}{s+4}.
Aplicando a transformada inversa de cada termo:
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{-\tfrac{3}{s}\Bigr\} = -3, \quad \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\tfrac{6}{s+4}\Bigr\} = 6e^{-4t}.

Resposta

(C) -3 + 6e^{-4t}

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