1. Qual a transformada de Laplace da função f(t)=\frac{5}{3} t^{3}-2 t e^{4 t}-6 \sin (5 t) ?
    A) F(s)=\frac{10}{s^{3}}-\frac{2}{(s-4)^{2}}-\frac{30 s}{s^{2}+25}
    B) F(s)=\frac{10}{s^{4}}-\frac{2}{(s+4)^{2}}-\frac{30}{s^{2}+25}
    C) F(s)=\frac{10}{s^{3}}-\frac{2}{(s-4)^{2}}-\frac{6 s}{s^{2}+25}
    D) F(s)=\frac{10}{s^{4}}-\frac{2}{(s-4)^{2}}-\frac{30}{s^{2}+25}
    E) F(s)=\frac{10}{s^{4}}-\frac{2}{(s+4)^{2}}-\frac{6 s}{s^{2}+25}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de
f(t)=\frac{5}{3}\,t^{3}\;-\;2\,t\,e^{4t}\;-\;6\,\sin(5t).
O conteúdo é a definição de transformada de Laplace e as propriedades: (i) L\{t^{n}\}=\frac{n!}{s^{n+1}}, (ii) deslocamento no domínio e^{at}f(t)\mapsto F(s-a) e (iii) L\{\sin(\omega t)\}=\frac{\omega}{s^{2}+\omega^{2}}.

Passo 2

Calcular L\{\tfrac{5}{3}t^{3}\}. Usa-se
L\{t^{3}\}=\frac{3!}{s^{4}}=\frac{6}{s^{4}},
então
L\Bigl\{\frac{5}{3}t^{3}\Bigr\} =\frac{5}{3}\,\frac{6}{s^{4}} =\frac{10}{s^{4}}.

Passo 3

Calcular L\{-2\,t\,e^{4t}\}. Primeiro L\{t\}=\frac{1}{s^{2}}. Pelo deslocamento,
L\{t\,e^{4t}\} =\frac{1}{(s-4)^{2}},
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L\{-2\,t\,e^{4t}\} =-2\;\frac{1}{(s-4)^{2}} =-\frac{2}{(s-4)^{2}}.

Passo 4

Calcular L\{-6\,\sin(5t)\}. Como
L\{\sin(5t)\} =\frac{5}{s^{2}+5^{2}} =\frac{5}{s^{2}+25},
temos
L\{-6\,\sin(5t)\} =-6\;\frac{5}{s^{2}+25} =-\frac{30}{s^{2}+25}.

Passo 5

Somando as três partes,
F(s) =\frac{10}{s^{4}} \;-\;\frac{2}{(s-4)^{2}} \;-\;\frac{30}{s^{2}+25}.
Comparando com as alternativas, corresponde à letra D.

Resposta

D) F(s)=\frac{10}{s^{4}}-\frac{2}{(s-4)^{2}}-\frac{30}{s^{2}+25}

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