1. Sendo F(s)=\frac{3 s+2}{s^{2}-4 s+20}, encontre f(t) para o qual \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s).
    A) f(t)=e^{2 t}(3 \cos (4 t)+2 \sin (4 t))
    B) f(t)=e^{2 t}(3 \cos (4 t)-2 \sin (4 t))
    C) f(t)=e^{-2 t}(3 \cos (2 t)-2 \sin (2 t))
    D) f(t)=e^{-2 t}(4 \cos (3 t)-3 \sin (3 t))
    E) f(t)=e^{-2 t}(2 \cos (3 t)+3 \sin (3 t))

Passo 1

O enunciado dá a transformada de Laplace
F(s)=\frac{3s+2}{s^{2}-4s+20}
e pede f(t) tal que \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s). O conteúdo aqui é a transformada inversa de Laplace usando a forma padrão
\mathcal{L}\{e^{at}\cos(bt)\}=\frac{s-a}{(s-a)^{2}+b^{2}}, \quad \mathcal{L}\{e^{at}\sin(bt)\}=\frac{b}{(s-a)^{2}+b^{2}}.

Passo 2

Começamos completando o quadrado no denominador:
s^{2}-4s+20 = (s-2)^{2} + 16 = (s-2)^{2} + 4^{2}.

Passo 3

Reescrevemos o numerador 3s+2 em função de (s-2):
3s+2 = 3(s-2) + 6 + 2 = 3(s-2) + 8.
Logo,
F(s) = \frac{3(s-2)}{(s-2)^{2}+4^{2}} + \frac{8}{(s-2)^{2}+4^{2}}.

Passo 4

Cada parcela corresponde a um termo da tabela:
\mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\frac{s-2}{(s-2)^{2}+4^{2}}\Bigr\} = e^{2t}\cos(4t), \quad \mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\frac{4}{(s-2)^{2}+4^{2}}\Bigr\} = e^{2t}\sin(4t).
Assim,
\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} = 3\,e^{2t}\cos(4t) + \frac{8}{4}\,e^{2t}\sin(4t) = e^{2t}\bigl(3\cos(4t)+2\sin(4t)\bigr).

Resposta

A) f(t)=e^{2t}(3\cos(4t)+2\sin(4t))

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