1. Sendo F(s)=\frac{3 s+3}{s^{2}-4 s+13}, encontre f(t) para o qual \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s).
    A) f(t)=e^{2 t}(2 \cos (3 t)+3 \sin (3 t))
    B) f(t)=e^{-2 t}(3 \cos (2 t)-2 \sin (2 t))
    C) f(t)=e^{-2 t}(4 \cos (2 t)+4 \sin (2 t))
    D) f(t)=e^{2 t}(4 \cos (3 t)+3 \sin (3 t))
    E) f(t)=e^{2 t}(3 \cos (3 t)+3 \sin (3 t))

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
F(s) = \frac{3s + 3}{s^2 - 4s + 13}
ou seja, encontrar f(t) tal que \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s). Vamos usar completamento de quadrado no denominador e as fórmulas conhecidas
\mathcal{L}\{e^{at}\cos(bt)\} = \frac{s - a}{(s - a)^2 + b^2}, \quad \mathcal{L}\{e^{at}\sin(bt)\} = \frac{b}{(s - a)^2 + b^2}.

Passo 2

Completamos o quadrado em s^2 - 4s + 13:
s^2 - 4s + 13 = (s - 2)^2 + 9.
Reescrevemos o numerador 3s + 3 em termos de (s - 2). Observamos que
3s + 3 = 3(s - 2) + 3\cdot 2 + 3 = 3(s - 2) + 9.
Portanto,
F(s) = \frac{3(s - 2) + 9}{(s - 2)^2 + 3^2}.

Passo 3

Separamos F(s) em duas frações:
F(s) = 3\,\frac{s - 2}{(s - 2)^2 + 3^2} + 9\,\frac{1}{(s - 2)^2 + 3^2}.

Passo 4

Aplicamos as fórmulas de transformada inversa:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s - 2}{(s - 2)^2 + 3^2}\right\} = e^{2t}\cos(3t), \quad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{3}{(s - 2)^2 + 3^2}\right\} = e^{2t}\sin(3t).
Como na segunda fração o numerador é 9 = 3\cdot3, temos
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{9}{(s - 2)^2 + 3^2}\right\} = 3\,e^{2t}\sin(3t).

Passo 5

Somando as duas partes, obtemos
f(t) = 3\,e^{2t}\cos(3t) + 3\,e^{2t}\sin(3t) = e^{2t}\bigl(3\cos(3t) + 3\sin(3t)\bigr).

Resposta

E) f(t)=e^{2t}(3\cos(3t)+3\sin(3t))

Exercícios relacionados