1. Qual a transformada de Laplace da função f(t)=-\frac{5}{4} t^{4}-2 t^{2} e^{-3 t}+2 \cos (2 t) ?
    A) F(s)=-\frac{30}{s^{5}}-\frac{4}{(s+3)^{3}}+\frac{2 s}{s^{2}+4}
    B) F(s)=-\frac{30}{s^{5}}-\frac{4}{(s-3)^{3}}+\frac{4 s}{s^{2}+4}
    C) F(s)=-\frac{30}{s^{4}}-\frac{4}{(s+3)^{3}}+\frac{2 s}{s^{2}+4}
    D) F(s)=-\frac{30}{s^{5}}-\frac{4}{(s-3)^{3}}+\frac{4}{s^{2}+4}
    E) F(s)=-\frac{30}{s^{4}}-\frac{4}{(s+3)^{3}}+\frac{4}{s^{2}+4}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de
f(t) = -\tfrac{5}{4}\,t^{4} \;-\;2\,t^{2}\,e^{-3t}\;+\;2\cos(2t).
Vamos usar linearidade da transformada e as fórmulas conhecidas:
\mathcal{L}\{t^n\} = \tfrac{n!}{s^{n+1}}.
\mathcal{L}\{t^n e^{-at}\} = \tfrac{n!}{(s+a)^{n+1}}.
\mathcal{L}\{\cos(bt)\} = \tfrac{s}{s^2+b^2}.

Passo 2

Transformada de -\tfrac{5}{4}\,t^{4}.
Como \mathcal{L}\{t^4\} = \tfrac{4!}{s^5} = \tfrac{24}{s^5}, temos
\mathcal{L}\bigl\{-\tfrac{5}{4}t^4\bigr\} = -\tfrac{5}{4}\,\frac{24}{s^5} = -\frac{30}{s^5}.

Passo 3

Transformada de -2\,t^2\,e^{-3t}.
Como \mathcal{L}\{t^2e^{-3t}\}=\tfrac{2!}{(s+3)^3}=\tfrac{2}{(s+3)^3}, temos
\mathcal{L}\{-2\,t^2e^{-3t}\} = -2\cdot\frac{2}{(s+3)^3} = -\frac{4}{(s+3)^3}.

Passo 4

Transformada de 2\cos(2t).
Como \mathcal{L}\{\cos(2t)\}=\tfrac{s}{s^2+4}, obtemos
\mathcal{L}\{2\cos(2t)\} = 2\cdot\frac{s}{s^2+4} = \frac{2s}{s^2+4}.

Passo 5

Somando as três parcelas:
F(s) = -\frac{30}{s^5} -\frac{4}{(s+3)^3} +\frac{2s}{s^2+4}.
Isso corresponde à alternativa A.

Resposta

(A)

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