1. Encontre \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{5 s+6}{s^{2}+3 s}\right\}.
    A) 2+4 e^{-3 t}
    B) -2+3 e^{3 t}
    C) -2+4 e^{-3 t}
    D) -2+3 e^{3 t}
    E) 2+3 e^{-3 t}

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos a transformada inversa de Laplace de
\frac{5s+6}{s^{2}+3s},
ou seja, queremos \mathcal{L}^{-1}\bigl\{\frac{5s+6}{s(s+3)}\bigr\}. O conteúdo envolvido é decomposição em frações parciais e uso direto das transformadas inversas básicas.

Passo 2

Começamos fatorando o denominador:
s^{2}+3s = s(s+3).
Assim, devemos escrever
\frac{5s+6}{s(s+3)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s+3}.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por s(s+3), obtemos a identidade
5s + 6 = A(s+3) + B\,s = (A + B)\,s + 3A.
Agora igualamos os coeficientes de s e os termos constantes.

Passo 4

Igualando coeficientes:
\begin{cases} A + B = 5,\\\\ 3A = 6, \end{cases}
da segunda equação vem A = 2. Substituindo em A + B = 5 B = 3. Logo
\frac{5s+6}{s(s+3)} = \frac{2}{s} + \frac{3}{s+3}.

Passo 5

Aplicamos agora a transformada inversa de Laplace termo a termo:
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{2}{s}\Bigr\} = 2, \quad \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{3}{s+3}\Bigr\} = 3\,e^{-3t}.
Somando os resultados, obtemos
\mathcal{L}^{-1}\bigl\{\tfrac{5s+6}{s^{2}+3s}\bigr\} = 2 + 3\,e^{-3t}.

Resposta

E) 2+3e^{-3t}

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