1. Qual a transformada de Laplace da função f(t)=-\frac{2}{3} t^{3}-3 t e^{2 t}-3 \sin (4 t) ?
    A) F(s)=-\frac{4}{s^{4}}-\frac{3}{(s-2)^{2}}-\frac{12}{s^{2}+16}
    B) F(s)=-\frac{4}{s^{3}}-\frac{3}{(s-2)^{2}}-\frac{12 s}{s^{2}+16}
    C) F(s)=-\frac{4}{s^{4}}-\frac{3}{(s-2)^{2}}-\frac{3}{s^{2}+16}
    D) F(s)=-\frac{4}{s^{3}}-\frac{3}{(s+2)^{2}}-\frac{12}{s^{2}+16}
    E) F(s)=-\frac{4}{s^{4}}-\frac{3}{(s+2)^{2}}-\frac{12}{s^{2}+9}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de
f(t)=-\tfrac{2}{3}t^3 - 3t e^{2t} - 3\sin(4t).
O conteúdo é transformada de Laplace de funções polinomiais, exponenciais e senoidais. Vamos usar as fórmulas:
\mathcal{L}\{t^n\} = \frac{n!}{s^{\,n+1}},
\mathcal{L}\{t e^{at}\} = \frac{1}{(s - a)^{2}},
\mathcal{L}\{\sin(bt)\} = \frac{b}{s^{2} + b^{2}}.

Passo 2

Aplicando em -\tfrac{2}{3}t^3:
\mathcal{L}\bigl\{-\tfrac{2}{3}t^3\bigr\} = -\tfrac{2}{3}\,\frac{3!}{s^{4}} = -\frac{2}{3}\cdot\frac{6}{s^{4}} = -\frac{4}{s^{4}}.

Passo 3

Aplicando em -3t e^{2t}:
\mathcal{L}\bigl\{-3t e^{2t}\bigr\} = -3\cdot\frac{1}{(s-2)^{2}} = -\frac{3}{(s-2)^{2}}.

Passo 4

Aplicando em -3\sin(4t):
\mathcal{L}\bigl\{-3\sin(4t)\bigr\} = -3\cdot\frac{4}{s^{2}+16} = -\frac{12}{s^{2}+16}.

Passo 5

Somando as três parcelas, obtemos
F(s)=-\frac{4}{s^{4}} \;-\;\frac{3}{(s-2)^{2}}\;-\;\frac{12}{s^{2}+16},
que corresponde à alternativa (A).

Resposta

(A)

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