1. Qual a transformada de Laplace da função f(t)=-\frac{3}{4} t^{4}+2 t e^{-3 t}+4 \sin (3 t) ?
    A) F(s)=-\frac{8}{s^{4}}+\frac{2}{(s+3)^{2}}+\frac{4 s}{s^{2}+9}
    B) F(s)=-\frac{8}{s^{5}}+\frac{2}{(s+3)^{2}}+\frac{12}{s^{2}+9}
    C) F(s)=-\frac{8}{s^{5}}+\frac{2}{(s-3)^{2}}+\frac{12}{s^{2}+9}
    D) F(s)=-\frac{8}{s^{4}}+\frac{2}{(s-3)^{2}}+\frac{36}{s^{2}+9}
    E) F(s)=-\frac{8}{s^{5}}+\frac{2}{(s+3)^{2}}+\frac{4 s}{s^{2}+9}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de \r
\;f(t)=-\frac{3}{4}\,t^{4}+2\,t\,e^{-3t}+4\sin(3t). \r
Vamos usar linearidade e as fórmulas básicas: \r
  • \mathcal{L}\{t^n\}=\frac{n!}{s^{\,n+1}}, \r
  • \mathcal{L}\{e^{-a t}g(t)\}=G(s+a) onde G(s)=\mathcal{L}\{g(t)\}, \r
  • \mathcal{L}\{\sin(a t)\}=\frac{a}{s^2+a^2}.

Passo 2

Calcular \mathcal{L}\bigl\{-\tfrac{3}{4}\,t^4\bigr\}. \r
Pela fórmula de potência, \r
\mathcal{L}\{t^4\}=\frac{4!}{s^5}=\frac{24}{s^5}, \r
logo \r
\mathcal{L}\Bigl\{-\tfrac{3}{4}\,t^4\Bigr\}\r =-\tfrac{3}{4}\,\frac{24}{s^5}\r =-\frac{18}{s^5}.

Passo 3

Calcular \mathcal{L}\{2\,t\,e^{-3t}\}. \r
Primeiro, \mathcal{L}\{t\}=\tfrac{1}{s^2}. Pelo deslocamento,\r
\mathcal{L}\{t\,e^{-3t}\}=\frac{1}{(s+3)^2}, \r
então \r
\mathcal{L}\{2\,t\,e^{-3t}\}\r =2\;\frac{1}{(s+3)^2}\r =\frac{2}{(s+3)^2}.

Passo 4

Calcular \mathcal{L}\{4\sin(3t)\}. \r
\mathcal{L}\{\sin(3t)\}=\frac{3}{s^2+9}, portanto \r
\mathcal{L}\{4\sin(3t)\}\r =4\;\frac{3}{s^2+9}\r =\frac{12}{s^2+9}.

Passo 5

Somando os três termos pela linearidade, obtemos \r
\boxed{F(s)=-\frac{18}{s^5}+\frac{2}{(s+3)^2}+\frac{12}{s^2+9}}. \r
Comparando com as alternativas dadas, o único que coincide nos dois últimos termos (e é o mais próximo) é a letra B.

Resposta

B

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