1. Sendo F(s)=\frac{4 s-16}{s^{2}-6 s+13}, encontre f(t) para o qual \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s).
    A) f(t)=e^{-3 t}(3 \cos (3 t)-3 \sin (3 t))
    B) f(t)=e^{3 t}(3 \cos (2 t)+2 \sin (2 t))
    C) f(t)=e^{3 t}(4 \cos (2 t)-2 \sin (2 t))
    D) f(t)=e^{-3 t}(4 \cos (2 t)+3 \sin (2 t))
    E) f(t)=e^{3 t}(4 \cos (3 t)+2 \sin (3 t))

Passo 1

O enunciado dá
F(s)=\frac{4s-16}{s^{2}-6s+13}
e pede f(t) tal que \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s).
Vamos usar o completamento de quadrado no denominador e o teorema do deslocamento para exponencial vezes cosseno e seno.

Passo 2

Fazendo o completamento de quadrado em s^{2}-6s+13, obtemos
s^{2}-6s+13 = (s-3)^{2} + 2^{2}.

Passo 3

Reescrevemos o numerador em função de s-3:
4s-16 = 4(s-3) -4.
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F(s) = \frac{4(s-3)-4}{(s-3)^{2}+2^{2}} = 4\,\frac{s-3}{(s-3)^{2}+2^{2}} -4\,\frac{1}{(s-3)^{2}+2^{2}}.

Passo 4

Sabemos que
\mathcal{L}\{e^{3t}\cos(2t)\} =\frac{s-3}{(s-3)^{2}+2^{2}}, \qquad \mathcal{L}\{e^{3t}\sin(2t)\} =\frac{2}{(s-3)^{2}+2^{2}}.
Logo
F(s) =4\,\mathcal{L}\{e^{3t}\cos(2t)\} -2\cdot2\,\frac{1}{(s-3)^{2}+2^{2}} =4\,\mathcal{L}\{e^{3t}\cos(2t)\} -2\,\mathcal{L}\{e^{3t}\sin(2t)\}.

Passo 5

Aplicando a transformada inversa, obtemos
f(t) =4e^{3t}\cos(2t)-2e^{3t}\sin(2t) =e^{3t}\bigl(4\cos(2t)-2\sin(2t)\bigr).

Resposta

C) f(t)=e^{3t}(4 \cos (2t)-2 \sin (2t))

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