1. Encontre \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{4 s-6}{s^{2}+3 s}\right\}.
    A) -2+4 e^{-3 t}
    B) 2+3 e^{-3 t}
    C) -2+6 e^{-3 t}
    D) -2+3 e^{3 t}
    E) 2-4 e^{3 t}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace inversa de
\frac{4s - 6}{s^{2} + 3s}
ou seja, encontrar f(t)=\mathcal{L}^{-1}\!\bigl\{(4s-6)/(s^{2}+3s)\bigr\}. O conteúdo principal é decomposição em frações parciais e uso das fórmulas
\mathcal{L}^{-1}\{1/s\}=1 e
\mathcal{L}^{-1}\{1/(s+a)\}=e^{-a t}.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador:
s^{2}+3s = s\,(s+3)
e propomos a decomposição
\frac{4s-6}{s(s+3)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s+3}.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por s(s+3), obtemos
4s - 6 = A\,(s+3) + B\,s = (A+B)\,s + 3A.
Comparando coeficientes de s e termo constante, vem
A + B = 4, \qquad 3A = -6.
Da segunda equação segue A=-2 e, então, B=4-(-2)=6. Logo,
\frac{4s-6}{s(s+3)} = -\frac{2}{s} + \frac{6}{s+3}.

Passo 4

Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo:
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{-\tfrac{2}{s}\Bigr\} = -2\cdot 1 = -2, \qquad \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\tfrac{6}{s+3}\Bigr\} = 6\,e^{-3t}.
Somando, obtemos
f(t) = -2 + 6\,e^{-3t}.

Resposta

C) -2 + 6\,e^{-3t}

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