1. Sendo F(s)=\frac{2 s-15}{s^{2}-6 s+18}, encontre f(t) para o qual \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s).
    A) f(t)=e^{-3 t}(3 \cos (4 t)-3 \sin (4 t))
    B) f(t)=e^{3 t}(2 \cos (3 t)-3 \sin (3 t))
    C) f(t)=e^{3 t}(3 \cos (3 t)-2 \sin (3 t))
    D) f(t)=e^{-3 t}(4 \cos (2 t)-3 \sin (2 t))
    E) f(t)=e^{3 t}(2 \cos (2 t)+2 \sin (2 t))

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de
F(s)=\frac{2s-15}{s^2-6s+18}
ou seja, encontrar f(t) tal que \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s). Vamos usar o fato de que
\mathcal{L}\{e^{at}\cos(bt)\}=\frac{s-a}{(s-a)^2+b^2} e
\mathcal{L}\{e^{at}\sin(bt)\}=\frac{b}{(s-a)^2+b^2}.

Passo 2

Complete o quadrado no denominador e escreva o numerador em função de (s-3):
s^2-6s+18=(s-3)^2+9,
2s-15=2(s-3)+6-15=2(s-3)-9.
Logo
F(s)=\frac{2(s-3)-9}{(s-3)^2+3^2}.

Passo 3

Compare com
\mathcal{L}\{e^{3t}(A\cos3t + B\sin3t)\} =\frac{(s-3)A + 3B}{(s-3)^2+3^2}.
Pela comparação, deve valer
(s-3)A +3B = 2(s-3)-9,
o que dá A=2 e 3B=-9\implies B=-3.

Passo 4

Portanto
f(t)=e^{3t}\bigl(2\cos(3t)-3\sin(3t)\bigr).

Resposta

B

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