1. Qual a transformada de Laplace da função f(t)=\frac{5}{4} t^{4}+4 t e^{-2 t}+5 \sin (2 t) ?
    A) F(s)=\frac{30}{s^{4}}+\frac{4}{(s-2)^{2}}+\frac{10}{s^{2}+4}
    B) F(s)=\frac{30}{s^{5}}+\frac{4}{(s-2)^{2}}+\frac{10 s}{s^{2}+4}
    C) F(s)=\frac{30}{s^{5}}+\frac{4}{(s+2)^{2}}+\frac{10}{s^{2}+4}
    D) F(s)=\frac{30}{s^{4}}+\frac{4}{(s+2)^{2}}+\frac{5 s}{s^{2}+4}
    E) F(s)=\frac{30}{s^{5}}+\frac{4}{(s+2)^{2}}+\frac{5}{s^{2}+4}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
f(t)=\frac{5}{4}\,t^{4}+4\,t\,e^{-2t}+5\sin(2t).
O conteúdo necessário é uso da linearidade da transformada de Laplace e das fórmulas padrão:
\mathcal{L}\{t^n\}=\frac{n!}{s^{n+1}},
\mathcal{L}\{e^{at}g(t)\}=G(s-a),
\mathcal{L}\{\sin(bt)\}=\frac{b}{s^2+b^2}.

Passo 2

Aplicando \mathcal{L}\{\tfrac{5}{4}t^4\}=\tfrac{5}{4}\,\mathcal{L}\{t^4\} e \mathcal{L}\{t^4\}=\tfrac{4!}{s^5}=\tfrac{24}{s^5}, temos
\mathcal{L}\{\tfrac{5}{4}t^4\}=\frac{5}{4}\cdot\frac{24}{s^5}=\frac{30}{s^5}.

Passo 3

Para 4\,t\,e^{-2t}, usamos deslocamento: \mathcal{L}\{t\,e^{-2t}\}=\frac{1}{(s+2)^2}. Assim,
\mathcal{L}\{4\,t\,e^{-2t}\}=4\cdot\frac{1}{(s+2)^2}=\frac{4}{(s+2)^2}.

Passo 4

Para 5\sin(2t), aplicamos \mathcal{L}\{\sin(2t)\}=\frac{2}{s^2+4}, então
\mathcal{L}\{5\sin(2t)\}=5\cdot\frac{2}{s^2+4}=\frac{10}{s^2+4}.

Passo 5

Somando as três transformadas,
F(s)=\frac{30}{s^5}+\frac{4}{(s+2)^2}+\frac{10}{s^2+4},
o que corresponde à alternativa (C).

Resposta

(C)

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