1. Encontre \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{2 s-9}{s^{2}+3 s}\right\}.
    A) -3+2 e^{3 t}
    B) 3+3 e^{3 t}
    C) 3+4 e^{-3 t}
    D) -3-2 e^{3 t}
    E) -3+5 e^{-3 t}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
F(s)=\frac{2s-9}{s^{2}+3s}
ou seja, calcular \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}. O conteúdo principal aqui é usar frações parciais para decompor F(s) em termos cujas inversas de Laplace são tabeladas (por exemplo, \mathcal{L}^{-1}\{1/s\}=1 e \mathcal{L}^{-1}\{1/(s+a)\}=e^{-a t}).

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador e escrevemos a decomposição em frações parciais:
s^{2}+3s = s(s+3),
\frac{2s-9}{s(s+3)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s+3}.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por s(s+3)\) temos \[2s-9 = A(s+3) + B\,s.
Igualando coeficientes de s e termo constante:
\begin{cases} A + B = 2,\\\\ 3A = -9. \end{cases}
Da segunda equação vem A=-3\] e, substituindo na primeira, \(B=5.

Passo 4

Logo
F(s)=\frac{2s-9}{s(s+3)} = -\frac{3}{s} + \frac{5}{s+3}.
Aplicando a transformada inversa termo a termo, usando
\mathcal{L}^{-1}\{1/s\}=1 e \mathcal{L}^{-1}\{1/(s+3)\}=e^{-3t}, obtemos
f(t) = -3 + 5e^{-3t}.

Resposta

E) -3 + 5 e^{-3 t}

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