1. Qual a transformada de Laplace da função f(t)=\frac{4}{3} t^{3}+3 t^{2} e^{-2 t}-3 \cos (3 t) ?
    A) F(s)=\frac{8}{s^{4}}+\frac{6}{(s-2)^{3}}-\frac{9}{s^{2}+9}
    B) F(s)=\frac{8}{s^{4}}+\frac{6}{(s+2)^{3}}-\frac{9}{s^{2}+9}
    C) F(s)=\frac{8}{s^{4}}+\frac{6}{(s+2)^{3}}-\frac{3 s}{s^{2}+9}
    D) F(s)=\frac{8}{s^{3}}+\frac{6}{(s+2)^{3}}-\frac{3 s}{s^{2}+9}
    E) F(s)=\frac{8}{s^{4}}+\frac{6}{(s-2)^{3}}-\frac{3 s}{s^{2}+9}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
f(t)=\frac{4}{3}\,t^{3}+3\,t^{2}e^{-2t}-3\cos(3t).
Vamos usar linearidade da transformada de Laplace e as fórmulas conhecidas:
\displaystyle \mathcal{L}\{t^{n}\}=\frac{n!}{s^{n+1}}.
\displaystyle \mathcal{L}\{t^{n}e^{-a t}\}=\frac{n!}{(s+a)^{n+1}}.
\displaystyle \mathcal{L}\{\cos(\omega t)\}=\frac{s}{s^{2}+\omega^{2}}.

Passo 2

Calcular \displaystyle \mathcal{L}\Bigl\{\frac{4}{3}t^{3}\Bigr\}.
Pela fórmula de t^{n} com n=3:
\mathcal{L}\{t^{3}\}=\frac{3!}{s^{4}}=\frac{6}{s^{4}}.
Multiplicando por \tfrac{4}{3}:
\mathcal{L}\Bigl\{\frac{4}{3}t^{3}\Bigr\} =\frac{4}{3}\,\frac{6}{s^{4}} =\frac{8}{s^{4}}.

Passo 3

Calcular \displaystyle \mathcal{L}\{3\,t^{2}e^{-2t}\}.
Pela fórmula de t^{n}e^{-a t} com n=2 e a=2:
\mathcal{L}\{t^{2}e^{-2t}\} =\frac{2!}{(s+2)^{3}} =\frac{2}{(s+2)^{3}}.
Multiplicando por 3:
\mathcal{L}\{3\,t^{2}e^{-2t}\} =\frac{6}{(s+2)^{3}}.

Passo 4

Calcular \displaystyle \mathcal{L}\{-3\cos(3t)\}.
Pela fórmula de \cos(\omega t) com \omega=3:
\mathcal{L}\{\cos(3t)\} =\frac{s}{s^{2}+9}.
Multiplicando por -3:
\mathcal{L}\{-3\cos(3t)\} =-3\,\frac{s}{s^{2}+9} =-\frac{3s}{s^{2}+9}.

Passo 5

Pela linearidade, somamos os resultados:
F(s) =\frac{8}{s^{4}} +\frac{6}{(s+2)^{3}} -\frac{3s}{s^{2}+9}.
Comparando com as alternativas, corresponde à opção (C).

Resposta

(C) F(s)=\displaystyle \frac{8}{s^{4}}+\frac{6}{(s+2)^{3}}-\frac{3s}{s^{2}+9}

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