1. Qual a transformada de Laplace da função f(t)=-\frac{3}{4} t^{4}-4 t^{2} e^{2 t}+2 \cos (4 t) ?
    A) F(s)=-\frac{18}{s^{4}}-\frac{8}{(s-2)^{3}}+\frac{8}{s^{2}+16}
    B) F(s)=-\frac{18}{s^{5}}-\frac{8}{(s-2)^{3}}+\frac{8}{s^{2}+16}
    C) F(s)=-\frac{18}{s^{5}}-\frac{8}{(s+2)^{3}}+\frac{2 s}{s^{2}+16}
    D) F(s)=-\frac{18}{s^{5}}-\frac{8}{(s-2)^{3}}+\frac{2 s}{s^{2}+16}
    E) F(s)=-\frac{18}{s^{4}}-\frac{8}{(s-2)^{3}}+\frac{2 s}{s^{2}+16}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
f(t) = -\tfrac{3}{4}\,t^{4}\;-\;4\,t^{2}\,e^{2t}\;+\;2\cos(4t).
O conteúdo envolve:
– Linearidade da transformada de Laplace;
– Fórmula \mathcal{L}\{t^{n}\} = \frac{n!}{s^{\,n+1}};
– Teorema de deslocamento \mathcal{L}\{e^{at}g(t)\} = G(s-a);
– Fórmula \mathcal{L}\{\cos(\omega t)\} = \frac{s}{s^{2}+\omega^{2}}.

Passo 2

Aplicando a linearidade, escrevemos
F(s) \;=\; \mathcal{L}\{f(t)\} \;=\; -\tfrac{3}{4}\,\mathcal{L}\{t^{4}\} \;-\;4\,\mathcal{L}\{t^{2}e^{2t}\} \;+\;2\,\mathcal{L}\{\cos(4t)\}.

Passo 3

Usando \mathcal{L}\{t^{4}\} = \frac{4!}{s^{5}} = \frac{24}{s^{5}}, temos
-\tfrac{3}{4}\,\mathcal{L}\{t^{4}\} = -\tfrac{3}{4}\,\frac{24}{s^{5}} = -\frac{18}{s^{5}}.

Passo 4

Para \mathcal{L}\{t^{2}e^{2t}\}, aplicamos o deslocamento:
\mathcal{L}\{t^{2}e^{2t}\} = \frac{2!}{(s-2)^{3}} = \frac{2}{(s-2)^{3}}.
Multiplicando por -4 resulta
-4\,\mathcal{L}\{t^{2}e^{2t}\} = -\frac{8}{(s-2)^{3}}.

Passo 5

Para \mathcal{L}\{\cos(4t)\}, usamos
\mathcal{L}\{\cos(4t)\} = \frac{s}{s^{2}+16}.
Multiplicando por 2 obtemos
2\,\mathcal{L}\{\cos(4t)\} = \frac{2s}{s^{2}+16}.

Passo 6

Somando todos os termos, a transformada F(s) fica
F(s) = -\frac{18}{s^{5}} \;-\;\frac{8}{(s-2)^{3}} \;+\;\frac{2s}{s^{2}+16}.
Isso corresponde à alternativa D.

Resposta

D) F(s)=-\frac{18}{s^{5}}-\frac{8}{(s-2)^{3}}+\frac{2s}{s^{2}+16}

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