1. Sendo F(s)=\frac{3 s+4}{s^{2}-4 s+29}, encontre f(t) para o qual \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s).
    A) f(t)=e^{2 t}(2 \cos (5 t)-2 \sin (5 t))
    B) f(t)=e^{2 t}(3 \cos (4 t)+2 \sin (4 t))
    C) f(t)=e^{-2 t}(3 \cos (5 t)-2 \sin (5 t))
    D) f(t)=e^{-2 t}(2 \cos (4 t)+3 \sin (4 t))
    E) f(t)=e^{2 t}(3 \cos (5 t)+2 \sin (5 t))

Passo 1

O enunciado pede para encontrar f(t) tal que sua transformada de Laplace seja
F(s)=\frac{3s+4}{s^{2}-4s+29}.
O conteúdo usado será a transformada inversa de Laplace com deslocamento no eixo s. Precisamos completar o quadrado no denominador e escrever o numerador em termos de (s-2) para usar
\mathcal{L}\{e^{at}\cos(\omega t)\}=\frac{s-a}{(s-a)^2+\omega^2}, \quad \mathcal{L}\{e^{at}\sin(\omega t)\}=\frac{\omega}{(s-a)^2+\omega^2}.

Passo 2

Primeiro completamos o quadrado no denominador:
s^{2}-4s+29 = (s^{2}-4s+4)+25 = (s-2)^{2}+5^{2}.
Logo
F(s)=\frac{3s+4}{(s-2)^{2}+5^{2}}.

Passo 3

Reescrevemos o numerador em função de (s-2). Note que
3s+4 = 3(s-2) +6+4 = 3(s-2) +10.
Então
F(s)=\frac{3(s-2)}{(s-2)^{2}+5^{2}} \;+\;\frac{10}{(s-2)^{2}+5^{2}}.

Passo 4

Usamos as transformadas padrões:
\mathcal{L}^{-1}\!\biggl\{\frac{s-2}{(s-2)^{2}+5^{2}}\biggr\} = e^{2t}\cos(5t), \quad \mathcal{L}^{-1}\!\biggl\{\frac{5}{(s-2)^{2}+5^{2}}\biggr\} = e^{2t}\sin(5t).
No segundo termo temos 10=2\cdot5, então
\mathcal{L}^{-1}\!\biggl\{\frac{10}{(s-2)^{2}+5^{2}}\biggr\} =2\,e^{2t}\sin(5t).

Passo 5

Somando os dois resultados, obtemos
f(t)=3\,e^{2t}\cos(5t) + 2\,e^{2t}\sin(5t) = e^{2t}\bigl(3\cos(5t)+2\sin(5t)\bigr).

Resposta

E) f(t)=e^{2t}(3\cos(5t)+2\sin(5t))

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