1. Sendo F(s)=\frac{2 s+2}{s^{2}-8 s+20}, encontre f(t) para o qual \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s).
    A) f(t)=e^{4 t}(2 \cos (2 t)+5 \sin (2 t))
    B) f(t)=e^{-4 t}(4 \cos (3 t)-2 \sin (3 t))
    C) f(t)=e^{-4 t}(2 \cos (3 t)-2 \sin (3 t))
    D) f(t)=e^{4 t}(2 \cos (2 t)+3 \sin (2 t))
    E) f(t)=e^{-4 t}(4 \cos (2 t)+2 \sin (2 t))

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
F(s)=\frac{2s+2}{s^{2}-8s+20}.
O conteúdo utilizado será o completamento de quadrado para o denominador e a tabela básica:
\mathcal{L}^{-1}\bigl\{\tfrac{s-a}{(s-a)^{2}+\omega^{2}}\bigr\}=e^{at}\cos(\omega t) e
\mathcal{L}^{-1}\bigl\{\tfrac{\omega}{(s-a)^{2}+\omega^{2}}\bigr\}=e^{at}\sin(\omega t).

Passo 2

Completo o quadrado no denominador:
s^{2}-8s+20=(s-4)^{2}+4
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F(s)=\frac{2s+2}{(s-4)^{2}+2^{2}}.

Passo 3

Reescrevo o numerador em função de (s-4):
2s+2=2(s-4)+10.
Portanto
F(s)=\frac{2(s-4)}{(s-4)^{2}+2^{2}}+\frac{10}{(s-4)^{2}+2^{2}}.

Passo 4

Separando termos e usando a tabela:
\frac{2(s-4)}{(s-4)^{2}+2^{2}} \longrightarrow 2e^{4t}\cos(2t),
\frac{10}{(s-4)^{2}+2^{2}} =\frac{5\cdot2}{(s-4)^{2}+2^{2}} \longrightarrow 5e^{4t}\sin(2t).
Somando, obtemos
f(t)=2e^{4t}\cos(2t)+5e^{4t}\sin(2t) =e^{4t}\bigl(2\cos(2t)+5\sin(2t)\bigr).

Passo 5

Comparando com as alternativas, corresponde à letra A).

Resposta

A) f(t)=e^{4t}(2\cos(2t)+5\sin(2t))

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