1. Encontre \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{4 s+9}{s^{2}+3 s}\right\}.
    A) -3+4 e^{3 t}
    B) 3-e^{3 t}
    C) -3+2 e^{-3 t}
    D) 3+e^{-3 t}
    E) 3+3 e^{-3 t}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
\frac{4s+9}{s^{2}+3s}
Isso envolve fatorar o denominador, usar frações parciais e aplicar a tabela básica de inversas:
\mathcal{L}^{-1}\{1/s\}=1 e \mathcal{L}^{-1}\{1/(s+a)\}=e^{-a t}.

Passo 2

Fatoramos o denominador:
s^{2}+3s = s\,(s+3).
Queremos escrever
\frac{4s+9}{s\,(s+3)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s+3}.

Passo 3

Multiplicando por s(s+3), obtemos
4s+9 = A(s+3) + B\,s = (A+B)\,s + 3A.
Comparando coeficientes de s e termo constante:
A + B = 4, \quad 3A = 9 \;\Longrightarrow\; A=3.
Logo B = 4 - 3 = 1.

Passo 4

Reescrevendo a expressão com os valores de A e B:
\frac{4s+9}{s(s+3)} = \frac{3}{s} + \frac{1}{s+3}.
Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo:
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{3}{s}\Bigr\} = 3, \quad \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{s+3}\Bigr\} = e^{-3t}.

Passo 5

Somando as duas partes, obtemos a função no domínio do tempo:
f(t) = 3 + e^{-3t}.

Resposta

D) 3 + e^{-3t}

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