1. Encontre \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{6 s+8}{s^{2}+4 s}\right\}.
    A) 2+4 e^{4 t}
    B) 2+4 e^{-4 t}
    C) -2+2 e^{-4 t}
    D) -2+2 e^{4 t}
    E) 2+3 e^{-4 t}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a transformada de Laplace inversa
\mathcal{L}^{-1}\!\biggl\{\frac{6s+8}{s^{2}+4s}\biggr\}.
O conteúdo essencial é usar decomposição em frações parciais e as propriedades básicas
\mathcal{L}^{-1}\{1/s\}=1 e \mathcal{L}^{-1}\{1/(s+a)\}=e^{-a t}.

Passo 2

Fatoramos o denominador:
s^{2}+4s = s\,(s+4).

Passo 3

Assumimos a forma em frações parciais
\frac{6s+8}{s(s+4)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s+4}.
Multiplicando ambos os lados por s(s+4), obtemos
6s+8 = A(s+4) + B\,s = (A+B)\,s + 4A.

Passo 4

Igualamos coeficientes de s e termo constante:
A + B = 6, \qquad 4A = 8.
Da segunda equação vem A=2. Substituindo em A+B=6 B=4.

Passo 5

Assim
\frac{6s+8}{s(s+4)} = \frac{2}{s} + \frac{4}{s+4}.
Aplicando a transformada inversa em cada parcela:
\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{2}{s}\} = 2, \qquad \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{4}{s+4}\} = 4\,e^{-4t}.
Logo
\mathcal{L}^{-1}\!\biggl\{\frac{6s+8}{s^{2}+4s}\biggr\} = 2 + 4\,e^{-4t}.

Resposta

B) 2 + 4 e^{-4t}

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