1. Sendo F(s)=\frac{4 s-14}{s^{2}-4 s+13}, encontre f(t) para o qual \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s).
    A) f(t)=e^{-2 t}(3 \cos (3 t)-3 \sin (3 t))
    B) f(t)=e^{2 t}(4 \cos (3 t)+2 \sin (3 t))
    C) f(t)=e^{2 t}(4 \cos (3 t)-2 \sin (3 t))
    D) f(t)=e^{-2 t}(3 \cos (2 t)+3 \sin (2 t))
    E) f(t)=e^{2 t}(4 \cos (3 t)+2 \sin (3 t))

Passo 1

O enunciado dá a transformada de Laplace
F(s)=\frac{4s-14}{s^{2}-4s+13}
e pede f(t) tal que \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s). O conteúdo aqui é usar a fórmula da transformada inversa para funções da forma
\frac{C\,(s-a)+D\,b}{(s-a)^{2}+b^{2}}
que corresponde a
e^{at}\bigl(C\cos(bt)+D\sin(bt)\bigr).

Passo 2

Observamos o denominador
s^{2}-4s+13 = (s-2)^{2}+9,
logo a=2 e b=3. Precisamos escrever o numerador 4s-14 na forma C(s-2)+D\cdot3.

Passo 3

Propomos
4s-14 = C(s-2)+3D = Cs -2C +3D.
Comparando coeficientes de s e termos constantes:
C=4,
-2C+3D=-14 \implies -8+3D=-14 \implies 3D=-6 \implies D=-2.

Passo 4

Pela fórmula da transformada inversa, concluímos que
f(t)=e^{2t}\bigl(C\cos(3t)+D\sin(3t)\bigr) =e^{2t}\bigl(4\cos(3t)-2\sin(3t)\bigr).

Resposta

C) f(t)=e^{2t}(4\cos(3t)-2\sin(3t))

Exercícios relacionados