1. Encontre \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{2 s+12}{s^{2}+4 s}\right\}.
    A) 2+e^{4 t}
    B) 3-e^{-4 t}
    C) 3+4 e^{4 t}
    D) -2+e^{-4 t}
    E) 2-e^{-4 t}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
F(s)=\frac{2s+12}{s^{2}+4s}
O conteúdo que vamos usar é a decomposição em frações parciais e depois tabelas de transformada de Laplace inversa.

Passo 2

Fatoramos o denominador comum:
s^{2}+4s = s\,(s+4)

Passo 3

Propomos a decomposição em frações parciais:
\frac{2s+12}{s\,(s+4)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s+4}
Multiplicando por s(s+4), obtemos
2s+12 = A(s+4) + B\,s = (A+B)\,s + 4A

Passo 4

Igualando coeficientes em s e termo constante:
\begin{cases} A + B = 2,\\\\ 4A = 12 \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad A = 3,\; B = -1
Assim
F(s) = \frac{3}{s} - \frac{1}{s+4}

Passo 5

Aplicando a transformada inversa de Laplace termo a termo:
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{3}{s}\Bigr\} = 3 \qquad \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{s+4}\Bigr\} = e^{-4t}
Logo
\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} = 3 - e^{-4t}

Resposta

B) 3 - e^{-4t}

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