Encontre \mathrm{x}: 2^{x}=8

Passo 1

O enunciado pede para encontrar \mathrm{x} tal que
2^{x}=8.
Informações dadas:
  • A base da potência é 2.
  • O valor do lado direito é 8.
  • A incógnita é o expoente x.
    A pergunta é: qual número x torna a igualdade verdadeira?

Passo 2

Lembrete básico sobre potências (coisa simples, mas importante):
  • Para um inteiro positivo n, \,a^{n}\, significa multiplicar a por si mesmo n vezes.
    Exemplos com a=2:
2^{1}=2,\qquad 2^{2}=2\cdot2=4,\qquad 2^{3}=2\cdot2\cdot2=8.

Passo 3

Observação direta: pelo exemplo acima, vê‑se que
2^{3}=8.
Ou seja, o número 8 pode ser escrito como uma potência de base 2: 8=2^{3}.

Passo 4

Agora compare as duas expressões. Temos
2^{x}=8
e acabamos de ver que
8=2^{3}.
Portanto
2^{x}=2^{3}.
Quando duas potências com a mesma base (aqui a base é 2) são iguais, seus expoentes também são iguais. Isso ocorre porque a função a^{t} (com a>0 e a\neq1) é injetora (um‑a‑um). Logo
x=3.

Passo 5

(Método alternativo — usando logaritmos, para aprender outra ferramenta)
Definição: \log_{a}b é o expoente que faz a^{(\log_{a}b)}=b. Aplicando logaritmo base 2:
x=\log_{2}8.
Usando mudança de base com log natural:
x=\frac{\ln 8}{\ln 2}=\frac{\ln(2^{3})}{\ln 2}=\frac{3\ln 2}{\ln 2}=3.
Mesma resposta, confirmando.

Resposta

x=3

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