Simplifique: \frac{6^{9}}{6^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão \dfrac{6^{9}}{6^{2}}.
Informações dadas:
  • Numerador: 6^{9} (produto de 9 fatores iguais a 6).
  • Denominador: 6^{2} (produto de 2 fatores iguais a 6).
    O objetivo é escrever essa fração de forma mais simples (usando propriedades de potências) e, se for útil, calcular o valor numérico final.

Passo 2

Regra que vamos usar (explicada com calma): se duas potências têm a mesma base não nula, a divisão delas resulta numa potência da mesma base com o expoente sendo a diferença dos expoentes. Em símbolos:
\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n},
onde a é a base (qualquer número diferente de 0) e m,n são inteiros com m\ge n.
Por que isso é verdade? Porque a^{m} é por definição o produto de m fatores a, e a^{n} é o produto de n fatores a. Ao dividir, n desses fatores no numerador cancelam com os n do denominador, sobrando m-n fatores a no numerador. Exemplo concreto com símbolos:
a^{m} = \underbrace{a\cdot a\cdot\ldots\cdot a}_{m\text{ vezes}} \qquad\text{e}\qquad a^{n} = \underbrace{a\cdot a\cdot\ldots\cdot a}_{n\text{ vezes}},
logo
\frac{a^{m}}{a^{n}} = \frac{\underbrace{a\cdot\ldots\cdot a}_{m}}{\underbrace{a\cdot\ldots\cdot a}_{n}} = \underbrace{a\cdot\ldots\cdot a}_{m-n} = a^{m-n}.

Passo 3

Aplicando a regra ao caso concreto, como a base em cima e embaixo é 6, temos:
\frac{6^{9}}{6^{2}} = 6^{9-2}.
Calcule o expoente:
9-2=7,
portanto
\frac{6^{9}}{6^{2}} = 6^{7}.

Passo 4

Agora, se quiser o valor numérico, calculamos 6^{7} passo a passo para não precisar de calculadora:
6^{2}=36,
6^{3}=6\cdot 36=216,
6^{4}=6\cdot 216=1296,
6^{5}=6\cdot 1296=7776,
6^{6}=6\cdot 7776=46656,
6^{7}=6\cdot 46656=279936.
Logo o valor numérico é 279936.

Resposta

6^{7}=279936

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