Sejam A, B e C matrizes n times n tais que det A=-1, det B=2 e det C=3. Calcule:
det(A^3 B C^T B^-1), det(B^2 C^-1 A B^-1 C^T)

Passo 1

O enunciado nos dá três matrizes quadradas ntimes n, A, B e C, cujos determinantes são
det A=-1, det B=2 e det C=3.
Pede-se o cálculo de
detl(A^3 B C^T B^-1r) e detl(B^2 C^-1 A B^-1 C^Tr).
Para isso vamos usar as propriedades básicas de determinante:
  1. det(XY)=det Xcdotdet Y.
  2. det(X^-1)=(det X)^-1.
  3. det(X^T)=det X.
  4. det(X^k)=(det X)^k.

Passo 2

Calculemos
detl(A^3 B C^T B^-1r) =det(A^3);det(B);det(C^T);det(B^-1)
Pelas propriedades acima temos
det(A^3)=(det A)^3=(-1)^3=-1,
det(C^T)=det C=3 e
det(B^-1)=(det B)^-1=tfrac12.
Logo,
detl(A^3 B C^T B^-1r) =(-1)cdot2cdot3cdottfrac12=-3

Passo 3

Agora calculemos
detl(B^2 C^-1 A B^-1 C^Tr) =det(B^2);det(C^-1);det(A);det(B^-1);det(C^T)
Temos
det(B^2)=(det B)^2=2^2=4,
det(C^-1)=(det C)^-1=tfrac13,
det(A)=-1,
det(B^-1)=tfrac12 e
det(C^T)=det C=3.
Multiplicando,
4;timestfrac13;times(-1);timestfrac12;times3 =4;times(-1);timestfrac33;timestfrac12 =4;times(-1);times1;timestfrac12 =-2

Resposta

det(A^3 B C^T B^-1)=-3
det(B^2 C^-1 A B^-1 C^T)=-2

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