Encontre a matriz ampliada de cada sistema a seguir e use o escalonamento para resolvê-los.
(b) S2=c2 x-3 y+z=2 3 x+2 z=0 5 y-2 w=-5 y-z+w=-4

Passo 1

O enunciado dá um sistema line ar com quatro equações e quatro incógnitas x,y,z,w. O objetivo é montar a matriz ampliada e aplicar eliminação de Gauss (escalonamento) para encontrar a solução por substituição regressiva.

Passo 2

A matriz ampliada do sistema
2x - 3y + z = 2, 3x + 2z = 0, 5y - 2w = -5, y - z + w = -4
é
( rrrr|r 2 & -3 & 1 & 0 & 2 3 & 0 & 2 & 0 & 0 0 & 5 & 0 & -2 & -5 0 & 1 & -1 & 1 & -4 )

Passo 3

Para zerar o coeficiente de x na segunda linha, fazemos
R2 2R2 - 3R1,
ficando
( rrrr|r 2 & -3 & 1 & 0 & 2 0 & 9 & 1 & 0 & -6 0 & 5 & 0 & -2 & -5 0 & 1 & -1 & 1 & -4 )

Passo 4

Como na coluna de y temos um 1 na quarta linha, trocamos R2 com R4 e depois eliminamos y em R3 e R4:
R2 rightarrow R4, R3 R3 - 5R2, R4 R4 - 9R2
O resultado é
( rrrr|r 2 & -3 & 1 & 0 & 2 0 & 1 & -1 & 1 & -4 0 & 0 & 5 & -7 & 15 0 & 0 & 10 & -9 & 30 )

Passo 5

Agora zeramos o coeficiente de z na quarta linha usando a terceira:
R4 R4 - 2R3,
ficando na forma escalonada
( rrrr|r 2 & -3 & 1 & 0 & 2 0 & 1 & -1 & 1 & -4 0 & 0 & 5 & -7 & 15 0 & 0 & 0 & 5 & 0 )
Agora aplicamos substituição regressiva.

Passo 6

Da quarta linha:
5w = 0 implies w = 0
Da terceira linha:
5z - 7w = 15 implies 5z = 15 implies z = 3
Da segunda linha:
y - z + w = -4 implies y - 3 = -4 implies y = -1
Da primeira linha:
2x - 3y + z = 2 implies 2x +3 +3 = 2 implies 2x = -4 implies x = -2

Resposta

(x,y,z,w) = (-2,-1,3,0)

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