Usando as operações elementares sobre linhas, determine se as matrizes abaixo são inversíveis e, em caso afirmativo, determine a sua inversa.
(b) B=[lll2 & 5 & 1 4 & 1 & 2 0 & 4 & 1]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
B= 2 & 5 & 1 4 & 1 & 2 0 & 4 & 1
é invertível e, se for, encontrar B^-1. Vamos usar eliminação de Gauss–Jordan no sistema aumentado l[Bmid Ir].

Passo 2

Escrevemos o sistema aumentado e normalizamos o pivô da primeira linha:
l[Bmid Ir]= 2 & 5 & 1 &mid& 1 & 0 & 0 4 & 1 & 2 &mid& 0 & 1 & 0 0 & 4 & 1 &mid& 0 & 0 & 1
Dividimos a linha 1 por 2:
R1 tfrac12R1 ;Longrightarrow; 1 & tfrac52 & tfrac12 &mid& tfrac12 & 0 & 0 4 & 1 & 2 &mid& 0 & 1 & 0 0 & 4 & 1 &mid& 0 & 0 & 1

Passo 3

Eliminamos o elemento abaixo do pivô (1,1) usando R2 R2-4R1:
1 & tfrac52 & tfrac12 &mid& tfrac12 & 0 & 0 0 & -9 & 0 &mid& -2 & 1 & 0 0 & 4 & 1 &mid& 0 & 0 & 1

Passo 4

Normalizamos o pivô da segunda linha dividindo por -9:
R2 -tfrac19,R2 ;Longrightarrow; 1 & tfrac52 & tfrac12 &mid& tfrac12 & 0 & 0 0 & 1 & 0 &mid& tfrac29 & -tfrac19 & 0 0 & 4 & 1 &mid& 0 & 0 & 1
Em seguida eliminamos na coluna 2, em R1 e R3:
R1 R1-tfrac52 R2, R3 R3-4R2 ;Longrightarrow; 1 & 0 & tfrac12 &mid& -tfrac118 & tfrac518 & 0 0 & 1 & 0 &mid& tfrac29 & -tfrac19 & 0 0 & 0 & 1 &mid& -tfrac89 & tfrac49 & 1

Passo 5

O pivô da terceira linha já é 1. Eliminamos o tfrac12 acima dele em R1:
R1 R1-tfrac12R3 ;Longrightarrow; 1 & 0 & 0 &mid& tfrac718 & tfrac118 & -tfrac12 0 & 1 & 0 &mid& tfrac29 & -tfrac19 & 0 0 & 0 & 1 &mid& -tfrac89 & tfrac49 & 1
Agora o lado esquerdo é a identidade, logo B é invertível.

Resposta

B^-1 = 718 & 118 & -tfrac12 [6pt] 29 & -19 & 0 [6pt] -89 & 49 & 1 ]

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