Encontre uma matriz com autovalores e e autovetores associados , respectivamente.
Passo 1
Beleza, vamos por partes! Você quer encontrar uma matriz de tamanho que tem três autovalores: , e . Além disso, cada um desses autovalores tem um autovetor associado: , e . Para resolver isso, vamos usar o conceito de diagonalização de matrizes, que envolve montar uma matriz com os autovetores e outra com os autovalores.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os autovetores em uma matriz. Chama-se essa matriz de , e ela terá os autovetores como colunas. Então, temos:
Passo 3
Agora, precisamos verificar se essa matriz U é invertível, ou seja, se ela tem um determinante diferente de zero. Isso é importante porque, para diagonalizar a matriz A, precisamos que U seja invertível.
Agora, vamos montar a matriz diagonal Lambda, que terá os autovalores na diagonal principal. Assim:
Lambda = 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & -1
Passo 5
Com as matrizes U e Lambda prontas, precisamos encontrar a inversa de U, ou seja, U^-1. Para isso, vamos usar a fórmula da matriz inversa para matrizes 3 times 3. Após os cálculos (que envolvem encontrar os cofatores, a matriz adjunta e dividir pelo determinante), encontramos: