(2,0) Encontre a matriz canônica para a composição dada em \mathbb{R}^{2}.
  • Uma rotação de 45^{\circ} seguida de uma dilatação de fator k=2.
\begin{gathered} T_{\theta}(x, y)=(x \cos \theta+y \operatorname{sen} \theta,-x \operatorname{sen} \theta+y \cos \theta) \\\ T(x, y)=k(x, y) \end{gathered}

Passo 1

O enunciado pede a matriz canônica da transformação linear em \mathbb{R}^2 que primeiro faz uma rotação de 45^\circ e em seguida uma dilatação de fator k=2. Para resolver, vamos obter a matriz da rotação, a matriz da dilatação e compô-las.

Passo 2

A rotação de ângulo \theta tem matriz canônica, no padrão coluna, dada por
R(\theta)= \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta\\\\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}.
Para \theta=45^\circ, temos \cos45^\circ=\tfrac{\sqrt2}{2} e \sin45^\circ=\tfrac{\sqrt2}{2}, logo
R\bigl(45^\circ\bigr)= \begin{pmatrix} \frac{\sqrt2}{2} & \frac{\sqrt2}{2}\\[6pt] -\frac{\sqrt2}{2} & \frac{\sqrt2}{2} \end{pmatrix}.]

Passo 3

A dilatação de fator k é a transformação T(x,y)=k(x,y) cuja matriz canônica é
D(k)= \begin{pmatrix} k & 0\\\\ 0 & k \end{pmatrix}.
Para k=2,
D(2)= \begin{pmatrix} 2 & 0\\\\ 0 & 2 \end{pmatrix}.

Passo 4

A composição “rotação seguida de dilatação” corresponde a aplicar primeiro R(45^\circ) e depois D(2). Em termos de matrizes, a composição é
D(2)\,R(45^\circ) = \begin{pmatrix} 2 & 0\\\\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{\sqrt2}{2} & \frac{\sqrt2}{2}\\[6pt] -\frac{\sqrt2}{2} & \frac{\sqrt2}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\cdot\frac{\sqrt2}{2} & 2\cdot\frac{\sqrt2}{2}\\[6pt] 2\cdot\Bigl(-\frac{\sqrt2}{2}\Bigr) & 2\cdot\frac{\sqrt2}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sqrt2 & \sqrt2\\\\ -\sqrt2 & \sqrt2 \end{pmatrix}.]

Resposta

A matriz canônica da transformação (rotação de 45^\circ seguida de dilatação de fator 2) em \mathbb{R}^2 é
\begin{pmatrix} \sqrt2 & \sqrt2\\\\ -\sqrt2 & \sqrt2 \end{pmatrix}.

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