Questão 1
a) Considere os vetores \vec{u} e \vec{v} num Espaço Vetorial com produto interno, tais que:
|\vec{u}|=5, \quad|\vec{v}|=4 \text { e } \vec{u} \cdot \vec{v}=6
Calcule o módulo do vetor \vec{w}=2 \vec{u}-3 \vec{v}.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores \vec{u} e \vec{v} num espaço vetorial com produto interno, com \;|\vec{u}|=5,\;\;|\vec{v}|=4 e \;\vec{u}\cdot\vec{v}=6.
Queremos calcular o módulo de \vec{w}=2\vec{u}-3\vec{v}. Para isso, usaremos a definição de norma via produto interno:
|\vec{w}| = \sqrt{\vec{w}\cdot\vec{w}},
e a bilinearidade do produto interno.

Passo 2

Aplicando a bilinearidade em
\vec{w}\cdot\vec{w} = (2\vec{u}-3\vec{v})\cdot(2\vec{u}-3\vec{v}),
obtemos
\vec{w}\cdot\vec{w} =4\,(\vec{u}\cdot\vec{u}) -2\cdot3\,(\vec{u}\cdot\vec{v}) -3\cdot2\,(\vec{v}\cdot\vec{u}) +9\,(\vec{v}\cdot\vec{v}) =4(\vec{u}\cdot\vec{u}) -12(\vec{u}\cdot\vec{v}) +9(\vec{v}\cdot\vec{v}).

Passo 3

Substituindo \vec{u}\cdot\vec{u}=|\vec{u}|^2=25, \vec{u}\cdot\vec{v}=6 e \vec{v}\cdot\vec{v}=|\vec{v}|^2=16, vem
\vec{w}\cdot\vec{w} =4\cdot25 -12\cdot6 +9\cdot16 =100 -72 +144 =172.
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|\vec{w}| = \sqrt{172} = 2\sqrt{43}.

Resposta

|\vec{w}| = 2\sqrt{43}.

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