Encontre a matriz canônica da transformação definida pelas equaçōes.
w1=2 x1-3 x2+x4
w2=3 x1+5 x2-x4
w3=4 x1+7 x2-x3

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
Tcolon R^4 to R^3
pelas coordenadas
w1 = 2x1 - 3x2 + x4, w2 = 3x1 + 5x2 - x4, w3 = 4x1 + 7x2 - x3
Queremos encontrar a matriz canônica de T nas bases padrão de R^4 e R^3.

Passo 2

Sabemos que, na base padrão, a matriz canônica A de T é montada a partir das imagens dos vetores canônicos e1,e2,e3,e4. Em outras palavras, a j-ésima coluna de A é o vetor T(ej) expressado em coordenadas.

Passo 3

Vamos calcular T(ej) para j=1,2,3,4:
e1 = (1,0,0,0) Longrightarrow T(e1) = 2cdot1 -3cdot0 +0cdot0 +1cdot0[6pt] 3cdot1 +5cdot0 +0cdot0 -1cdot0[6pt] 4cdot1 +7cdot0 -1cdot0 +0cdot0 = 234
e2 = (0,1,0,0) Longrightarrow T(e2) = 2cdot0 -3cdot1 +0cdot0 +1cdot0[6pt] 3cdot0 +5cdot1 +0cdot0 -1cdot0[6pt] 4cdot0 +7cdot1 -1cdot0 +0cdot0 = -357
e3 = (0,0,1,0) Longrightarrow T(e3) = 2cdot0 -3cdot0 +0cdot1 +1cdot0[6pt] 3cdot0 +5cdot0 +0cdot1 -1cdot0[6pt] 4cdot0 +7cdot0 -1cdot1 +0cdot0 = 00-1
e4 = (0,0,0,1) Longrightarrow T(e4) = 2cdot0 -3cdot0 +0cdot0 +1cdot1[6pt] 3cdot0 +5cdot0 +0cdot0 -1cdot1[6pt] 4cdot0 +7cdot0 -1cdot0 +0cdot1 = 1-10 ]

Passo 4

Agora montamos a matriz A agrupando essas imagens como colunas, na ordem T(e1),T(e2),T(e3),T(e4):
A = 2 & -3 & 0 & 1 3 & 5 & 0 & -1 4 & 7 & -1& 0

Resposta

A matriz canônica da transformação é
2 & -3 & 0 & 1 3 & 5 & 0 & -1 4 & 7 & -1 & 0

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